Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20198 / 4862
↖ ↑ ↗
← N 77.470796°
E 41.901855°		 ← 265.02 m → N 77.470796°
E 41.912842°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
N 77.468412°
E 41.901855°		 ← 265.07 m →
70 262 m²		 N 77.468412°
E 41.912842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616409301757812 y=0.148391723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616409301757812 × 215)
    floor (0.616409301757812 × 32768)
    floor (20198.5)     		tx = 20198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148391723632812 × 215)
    floor (0.148391723632812 × 32768)
    floor (4862.5)     		ty = 4862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20198 / 4862 ti = "15/20198/4862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20198/4862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20198 ÷ 215
    20198 ÷ 32768     		x = 0.61639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4862 ÷ 215
    4862 ÷ 32768     		y = 0.14837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61639404296875 × 2 - 1) × π
    0.2327880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73132534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14837646484375 × 2 - 1) × π
    0.7032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20931582968915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73132534} λ = 0.73132534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20931582968915))-π/2
    2×atan(9.10948182351892)-π/2
    2×1.4614583960491-π/2
    2.92291679209819-1.57079632675     		φ = 1.35212047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73132534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.901855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35212047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.470796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20198 KachelY 4862 0.73132534 1.35212047 41.901855 77.470796
    Oben rechts KachelX + 1 20199 KachelY 4862 0.73151709 1.35212047 41.912842 77.470796
    Unten links KachelX 20198 KachelY + 1 4863 0.73132534 1.35207886 41.901855 77.468412
    Unten rechts KachelX + 1 20199 KachelY + 1 4863 0.73151709 1.35207886 41.912842 77.468412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35212047-1.35207886) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dl = 265.097310000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35212047-1.35207886) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dr = 265.097310000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73132534-0.73151709) × cos(1.35212047) × R
    0.000191749999999935 × 0.216937204165086 × 6371000     		do = 265.019003393242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73132534-0.73151709) × cos(1.35207886) × R
    0.000191749999999935 × 0.216977823058464 × 6371000     		du = 265.068625027685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35212047)-sin(1.35207886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216937204165086-0.216977823058464)×R²
    abs(0.73151709-0.73132534)×4.06188933786411e-05×R²
    0.000191749999999935×4.06188933786411e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.06188933786411e-05×40589641000000     		ar = 70262.4021897117m²