Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20197 / 4866
↖ ↑ ↗
← N 77.461259°
E 41.890869°		 ← 265.22 m → N 77.461259°
E 41.901855°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
N 77.458874°
E 41.890869°		 ← 265.27 m →
70 349 m²		 N 77.458874°
E 41.901855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616378784179688 y=0.148513793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616378784179688 × 215)
    floor (0.616378784179688 × 32768)
    floor (20197.5)     		tx = 20197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148513793945312 × 215)
    floor (0.148513793945312 × 32768)
    floor (4866.5)     		ty = 4866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20197 / 4866 ti = "15/20197/4866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20197/4866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20197 ÷ 215
    20197 ÷ 32768     		x = 0.616363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4866 ÷ 215
    4866 ÷ 32768     		y = 0.14849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616363525390625 × 2 - 1) × π
    0.23272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73113359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14849853515625 × 2 - 1) × π
    0.7030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20854883929523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73113359} λ = 0.73113359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20854883929523))-π/2
    2×atan(9.10249761721864)-π/2
    2×1.46137517051926-π/2
    2.92275034103851-1.57079632675     		φ = 1.35195401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73113359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.890869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35195401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.461259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20197 KachelY 4866 0.73113359 1.35195401 41.890869 77.461259
    Oben rechts KachelX + 1 20198 KachelY 4866 0.73132534 1.35195401 41.901855 77.461259
    Unten links KachelX 20197 KachelY + 1 4867 0.73113359 1.35191238 41.890869 77.458874
    Unten rechts KachelX + 1 20198 KachelY + 1 4867 0.73132534 1.35191238 41.901855 77.458874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35195401-1.35191238) × R
    4.16300000001257e-05 × 6371000     		dl = 265.224730000801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35195401-1.35191238) × R
    4.16300000001257e-05 × 6371000     		dr = 265.224730000801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73113359-0.73132534) × cos(1.35195401) × R
    0.000191750000000046 × 0.217099697007265 × 6371000     		do = 265.217511027247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73113359-0.73132534) × cos(1.35191238) × R
    0.000191750000000046 × 0.217140333920155 × 6371000     		du = 265.267154675031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35195401)-sin(1.35191238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217099697007265-0.217140333920155)×R²
    abs(0.73132534-0.73113359)×4.06369128893302e-05×R²
    0.000191750000000046×4.06369128893302e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.06369128893302e-05×40589641000000     		ar = 70348.8261248935m²