Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20190 / 4844
↖ ↑ ↗
← N 77.513624°
E 41.813965°		 ← 264.13 m → N 77.513624°
E 41.824951°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 77.511248°
E 41.813965°		 ← 264.18 m →
69 774 m²		 N 77.511248°
E 41.824951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616165161132812 y=0.147842407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616165161132812 × 215)
    floor (0.616165161132812 × 32768)
    floor (20190.5)     		tx = 20190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147842407226562 × 215)
    floor (0.147842407226562 × 32768)
    floor (4844.5)     		ty = 4844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20190 / 4844 ti = "15/20190/4844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20190/4844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20190 ÷ 215
    20190 ÷ 32768     		x = 0.61614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4844 ÷ 215
    4844 ÷ 32768     		y = 0.1478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61614990234375 × 2 - 1) × π
    0.2322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72979136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1478271484375 × 2 - 1) × π
    0.704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21276728646179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72979136} λ = 0.72979136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21276728646179))-π/2
    2×atan(9.14097712732801)-π/2
    2×1.4618321407379-π/2
    2.92366428147579-1.57079632675     		φ = 1.35286795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72979136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.813965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35286795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.513624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20190 KachelY 4844 0.72979136 1.35286795 41.813965 77.513624
    Oben rechts KachelX + 1 20191 KachelY 4844 0.72998311 1.35286795 41.824951 77.513624
    Unten links KachelX 20190 KachelY + 1 4845 0.72979136 1.35282649 41.813965 77.511248
    Unten rechts KachelX + 1 20191 KachelY + 1 4845 0.72998311 1.35282649 41.824951 77.511248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35286795-1.35282649) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35286795-1.35282649) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72979136-0.72998311) × cos(1.35286795) × R
    0.000191750000000046 × 0.216207464445656 × 6371000     		do = 264.127524709856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72979136-0.72998311) × cos(1.35282649) × R
    0.000191750000000046 × 0.216247943624869 × 6371000     		du = 264.176975663991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35286795)-sin(1.35282649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216207464445656-0.216247943624869)×R²
    abs(0.72998311-0.72979136)×4.04791792131265e-05×R²
    0.000191750000000046×4.04791792131265e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.04791792131265e-05×40589641000000     		ar = 69773.6138666088m²