Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2019 / 863
↖ ↑ ↗
← N 71.552740°
W  2.548828°		 ← 3 092.48 m → N 71.552740°
W  2.460937°		 →
↑
3 094.71 m
↓
↑
3 094.71 m
↓
N 71.524909°
W  2.548828°		 ← 3 096.98 m →
9 577 312 m²		 N 71.524909°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4930419921875 y=0.2108154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4930419921875 × 212)
    floor (0.4930419921875 × 4096)
    floor (2019.5)     		tx = 2019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2108154296875 × 212)
    floor (0.2108154296875 × 4096)
    floor (863.5)     		ty = 863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2019 / 863 ti = "12/2019/863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2019/863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2019 ÷ 212
    2019 ÷ 4096     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 863 ÷ 212
    863 ÷ 4096     		y = 0.210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210693359375 × 2 - 1) × π
    0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81776723359253))-π/2
    2×atan(6.15809350433747)-π/2
    2×1.4098136199856-π/2
    2.8196272399712-1.57079632675     		φ = 1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2019 KachelY 863 -0.04448544 1.24883091 -2.548828 71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 2020 KachelY 863 -0.04295146 1.24883091 -2.460937 71.552740
    Unten links KachelX 2019 KachelY + 1 864 -0.04448544 1.24834516 -2.548828 71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 2020 KachelY + 1 864 -0.04295146 1.24834516 -2.460937 71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24883091-1.24834516) × R
    0.000485749999999951 × 6371000     		dl = 3094.71324999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24883091-1.24834516) × R
    0.000485749999999951 × 6371000     		dr = 3094.71324999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04295146) × cos(1.24883091) × R
    0.00153398 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 3092.48173224795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04295146) × cos(1.24834516) × R
    0.00153398 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 3096.98466070906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24883091)-sin(1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.316892347631675)×R²
    abs(-0.04295146--0.04448544)×0.000460752547263743×R²
    0.00153398×0.000460752547263743×6371000²
    0.00153398×0.000460752547263743×40589641000000     		ar = 9577312.01666816m²