Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2019 / 2977
↖ ↑ ↗
← S 62.955223°
W  2.548828°		 ← 4 443.65 m → S 62.955223°
W  2.460937°		 →
↑
4 440.65 m
↓
↑
4 440.65 m
↓
S 62.995159°
W  2.548828°		 ← 4 437.58 m →
19 719 212 m²		 S 62.995159°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4930419921875 y=0.7269287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4930419921875 × 212)
    floor (0.4930419921875 × 4096)
    floor (2019.5)     		tx = 2019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7269287109375 × 212)
    floor (0.7269287109375 × 4096)
    floor (2977.5)     		ty = 2977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2019 / 2977 ti = "12/2019/2977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2019/2977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2019 ÷ 212
    2019 ÷ 4096     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2977 ÷ 212
    2977 ÷ 4096     		y = 0.726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.45361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42506815190503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42506815190503))-π/2
    2×atan(0.240492072656929)-π/2
    2×0.23601020167399-π/2
    0.47202040334798-1.57079632675     		φ = -1.09877592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09877592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.955223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2019 KachelY 2977 -0.04448544 -1.09877592 -2.548828 -62.955223
    Oben rechts KachelX + 1 2020 KachelY 2977 -0.04295146 -1.09877592 -2.460937 -62.955223
    Unten links KachelX 2019 KachelY + 1 2978 -0.04448544 -1.09947293 -2.548828 -62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 2020 KachelY + 1 2978 -0.04295146 -1.09947293 -2.460937 -62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09877592--1.09947293) × R
    0.000697009999999887 × 6371000     		dl = 4440.65070999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09877592--1.09947293) × R
    0.000697009999999887 × 6371000     		dr = 4440.65070999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04295146) × cos(-1.09877592) × R
    0.00153398 × 0.454686690430664 × 6371000     		do = 4443.6469236835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04295146) × cos(-1.09947293) × R
    0.00153398 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 4437.57884339373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09877592)-sin(-1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454686690430664-0.454065787061965)×R²
    abs(-0.04295146--0.04448544)×0.000620903368698578×R²
    0.00153398×0.000620903368698578×6371000²
    0.00153398×0.000620903368698578×40589641000000     		ar = 19719211.5524595m²