Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20188 / 4849
↖ ↑ ↗
← N 77.501742°
E 41.791992°		 ← 264.37 m → N 77.501742°
E 41.802978°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
N 77.499364°
E 41.791992°		 ← 264.42 m →
69 906 m²		 N 77.499364°
E 41.802978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616104125976562 y=0.147994995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616104125976562 × 215)
    floor (0.616104125976562 × 32768)
    floor (20188.5)     		tx = 20188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147994995117188 × 215)
    floor (0.147994995117188 × 32768)
    floor (4849.5)     		ty = 4849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20188 / 4849 ti = "15/20188/4849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20188/4849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20188 ÷ 215
    20188 ÷ 32768     		x = 0.6160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4849 ÷ 215
    4849 ÷ 32768     		y = 0.147979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6160888671875 × 2 - 1) × π
    0.232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72940786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147979736328125 × 2 - 1) × π
    0.70404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21180854846939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72940786} λ = 0.72940786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21180854846939))-π/2
    2×atan(9.13221752502111)-π/2
    2×1.46172844906231-π/2
    2.92345689812462-1.57079632675     		φ = 1.35266057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72940786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35266057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.501742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20188 KachelY 4849 0.72940786 1.35266057 41.791992 77.501742
    Oben rechts KachelX + 1 20189 KachelY 4849 0.72959961 1.35266057 41.802978 77.501742
    Unten links KachelX 20188 KachelY + 1 4850 0.72940786 1.35261907 41.791992 77.499364
    Unten rechts KachelX + 1 20189 KachelY + 1 4850 0.72959961 1.35261907 41.802978 77.499364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35266057-1.35261907) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35266057-1.35261907) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72940786-0.72959961) × cos(1.35266057) × R
    0.000191749999999935 × 0.216409934728079 × 6371000     		do = 264.37487035367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72940786-0.72959961) × cos(1.35261907) × R
    0.000191749999999935 × 0.216450451099046 × 6371000     		du = 264.42436674271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35266057)-sin(1.35261907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216409934728079-0.216450451099046)×R²
    abs(0.72959961-0.72940786)×4.05163709666923e-05×R²
    0.000191749999999935×4.05163709666923e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.05163709666923e-05×40589641000000     		ar = 69906.3337558014m²