Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20185 / 4851
↖ ↑ ↗
← N 77.496986°
E 41.759033°		 ← 264.47 m → N 77.496986°
E 41.770020°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
N 77.494607°
E 41.759033°		 ← 264.52 m →
69 949 m²		 N 77.494607°
E 41.770020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616012573242188 y=0.148056030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616012573242188 × 215)
    floor (0.616012573242188 × 32768)
    floor (20185.5)     		tx = 20185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148056030273438 × 215)
    floor (0.148056030273438 × 32768)
    floor (4851.5)     		ty = 4851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20185 / 4851 ti = "15/20185/4851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20185/4851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20185 ÷ 215
    20185 ÷ 32768     		x = 0.615997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4851 ÷ 215
    4851 ÷ 32768     		y = 0.148040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615997314453125 × 2 - 1) × π
    0.23199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72883262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148040771484375 × 2 - 1) × π
    0.70391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21142505327243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72883262} λ = 0.72883262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21142505327243))-π/2
    2×atan(9.1287160349079)-π/2
    2×1.46168694520815-π/2
    2.92337389041629-1.57079632675     		φ = 1.35257756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72883262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.759033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35257756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.496986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20185 KachelY 4851 0.72883262 1.35257756 41.759033 77.496986
    Oben rechts KachelX + 1 20186 KachelY 4851 0.72902437 1.35257756 41.770020 77.496986
    Unten links KachelX 20185 KachelY + 1 4852 0.72883262 1.35253605 41.759033 77.494607
    Unten rechts KachelX + 1 20186 KachelY + 1 4852 0.72902437 1.35253605 41.770020 77.494607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35257756-1.35253605) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35257756-1.35253605) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72883262-0.72902437) × cos(1.35257756) × R
    0.000191749999999935 × 0.216490976860077 × 6371000     		do = 264.473874603022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72883262-0.72902437) × cos(1.35253605) × R
    0.000191749999999935 × 0.216531502248076 × 6371000     		du = 264.523382007624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35257756)-sin(1.35253605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216490976860077-0.216531502248076)×R²
    abs(0.72902437-0.72883262)×4.05253879997847e-05×R²
    0.000191749999999935×4.05253879997847e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.05253879997847e-05×40589641000000     		ar = 69949.3627964748m²