Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20184 / 4848
↖ ↑ ↗
← N 77.504119°
E 41.748047°		 ← 264.33 m → N 77.504119°
E 41.759033°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
N 77.501742°
E 41.748047°		 ← 264.37 m →
69 876 m²		 N 77.501742°
E 41.759033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615982055664062 y=0.147964477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615982055664062 × 215)
    floor (0.615982055664062 × 32768)
    floor (20184.5)     		tx = 20184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147964477539062 × 215)
    floor (0.147964477539062 × 32768)
    floor (4848.5)     		ty = 4848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20184 / 4848 ti = "15/20184/4848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20184/4848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20184 ÷ 215
    20184 ÷ 32768     		x = 0.615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4848 ÷ 215
    4848 ÷ 32768     		y = 0.14794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615966796875 × 2 - 1) × π
    0.23193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72864087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14794921875 × 2 - 1) × π
    0.7041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21200029606787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72864087} λ = 0.72864087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21200029606787))-π/2
    2×atan(9.13396877369383)-π/2
    2×1.46174919516288-π/2
    2.92349839032576-1.57079632675     		φ = 1.35270206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72864087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35270206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.504119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20184 KachelY 4848 0.72864087 1.35270206 41.748047 77.504119
    Oben rechts KachelX + 1 20185 KachelY 4848 0.72883262 1.35270206 41.759033 77.504119
    Unten links KachelX 20184 KachelY + 1 4849 0.72864087 1.35266057 41.748047 77.501742
    Unten rechts KachelX + 1 20185 KachelY + 1 4849 0.72883262 1.35266057 41.759033 77.501742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35270206-1.35266057) × R
    4.14899999998664e-05 × 6371000     		dl = 264.332789999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35270206-1.35266057) × R
    4.14899999998664e-05 × 6371000     		dr = 264.332789999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72864087-0.72883262) × cos(1.35270206) × R
    0.000191750000000046 × 0.216369427747516 × 6371000     		do = 264.325385436468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72864087-0.72883262) × cos(1.35266057) × R
    0.000191750000000046 × 0.216409934728079 × 6371000     		du = 264.374870353823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35270206)-sin(1.35266057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216369427747516-0.216409934728079)×R²
    abs(0.72883262-0.72864087)×4.05069805629044e-05×R²
    0.000191750000000046×4.05069805629044e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.05069805629044e-05×40589641000000     		ar = 69876.4068530917m²