Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2018 / 862
↖ ↑ ↗
← N 71.580532°
W  2.636719°		 ← 3 087.98 m → N 71.580532°
W  2.548828°		 →
↑
3 090.25 m
↓
↑
3 090.25 m
↓
N 71.552740°
W  2.636719°		 ← 3 092.48 m →
9 549 604 m²		 N 71.552740°
W  2.548828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4927978515625 y=0.2105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4927978515625 × 212)
    floor (0.4927978515625 × 4096)
    floor (2018.5)     		tx = 2018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2105712890625 × 212)
    floor (0.2105712890625 × 4096)
    floor (862.5)     		ty = 862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2018 / 862 ti = "12/2018/862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2018/862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2018 ÷ 212
    2018 ÷ 4096     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 862 ÷ 212
    862 ÷ 4096     		y = 0.21044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21044921875 × 2 - 1) × π
    0.5791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81930121438037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81930121438037))-π/2
    2×atan(6.16754715046484)-π/2
    2×1.41005614346978-π/2
    2.82011228693956-1.57079632675     		φ = 1.24931596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24931596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.580532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2018 KachelY 862 -0.04601942 1.24931596 -2.636719 71.580532
    Oben rechts KachelX + 1 2019 KachelY 862 -0.04448544 1.24931596 -2.548828 71.580532
    Unten links KachelX 2018 KachelY + 1 863 -0.04601942 1.24883091 -2.636719 71.552740
    Unten rechts KachelX + 1 2019 KachelY + 1 863 -0.04448544 1.24883091 -2.548828 71.552740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24931596-1.24883091) × R
    0.000485049999999987 × 6371000     		dl = 3090.25354999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24931596-1.24883091) × R
    0.000485049999999987 × 6371000     		dr = 3090.25354999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04448544) × cos(1.24931596) × R
    0.00153398 × 0.315971432012315 × 6371000     		do = 3087.98456471973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04448544) × cos(1.24883091) × R
    0.00153398 × 0.316431595084411 × 6371000     		du = 3092.48173224794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24931596)-sin(1.24883091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315971432012315-0.316431595084411)×R²
    abs(-0.04448544--0.04601942)×0.000460163072095843×R²
    0.00153398×0.000460163072095843×6371000²
    0.00153398×0.000460163072095843×40589641000000     		ar = 9549604.14466239m²