Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20176 / 4880
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
E 41.660156°		 ← 265.91 m → N 77.427823°
E 41.671143°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
N 77.425432°
E 41.660156°		 ← 265.96 m →
70 720 m²		 N 77.425432°
E 41.671143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615737915039062 y=0.148941040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615737915039062 × 215)
    floor (0.615737915039062 × 32768)
    floor (20176.5)     		tx = 20176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148941040039062 × 215)
    floor (0.148941040039062 × 32768)
    floor (4880.5)     		ty = 4880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20176 / 4880 ti = "15/20176/4880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20176/4880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20176 ÷ 215
    20176 ÷ 32768     		x = 0.61572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4880 ÷ 215
    4880 ÷ 32768     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61572265625 × 2 - 1) × π
    0.2314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72710689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72710689} λ = 0.72710689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72710689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20176 KachelY 4880 0.72710689 1.35137045 41.660156 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 20177 KachelY 4880 0.72729864 1.35137045 41.671143 77.427823
    Unten links KachelX 20176 KachelY + 1 4881 0.72710689 1.35132871 41.660156 77.425432
    Unten rechts KachelX + 1 20177 KachelY + 1 4881 0.72729864 1.35132871 41.671143 77.425432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35132871) × R
    4.17399999999013e-05 × 6371000     		dl = 265.925539999371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35132871) × R
    4.17399999999013e-05 × 6371000     		dr = 265.925539999371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72710689-0.72729864) × cos(1.35137045) × R
    0.000191750000000046 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 265.913362567328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72710689-0.72729864) × cos(1.35132871) × R
    0.000191750000000046 × 0.21771004076687 × 6371000     		du = 265.963130919973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35132871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.21771004076687)×R²
    abs(0.72729864-0.72710689)×4.07389928282487e-05×R²
    0.000191750000000046×4.07389928282487e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.07389928282487e-05×40589641000000     		ar = 70719.7718820767m²