Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20171 / 4916
↖ ↑ ↗
← N 77.341443°
E 41.605225°		 ← 267.70 m → N 77.341443°
E 41.616211°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
N 77.339035°
E 41.605225°		 ← 267.75 m →
71 689 m²		 N 77.339035°
E 41.616211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615585327148438 y=0.150039672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615585327148438 × 215)
    floor (0.615585327148438 × 32768)
    floor (20171.5)     		tx = 20171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150039672851562 × 215)
    floor (0.150039672851562 × 32768)
    floor (4916.5)     		ty = 4916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20171 / 4916 ti = "15/20171/4916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20171/4916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20171 ÷ 215
    20171 ÷ 32768     		x = 0.615570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4916 ÷ 215
    4916 ÷ 32768     		y = 0.1500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615570068359375 × 2 - 1) × π
    0.23114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72614816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1500244140625 × 2 - 1) × π
    0.699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19896145937122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72614816} λ = 0.72614816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19896145937122))-π/2
    2×atan(9.01564552159443)-π/2
    2×1.46032957758571-π/2
    2.92065915517142-1.57079632675     		φ = 1.34986283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72614816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.605225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34986283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.341443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20171 KachelY 4916 0.72614816 1.34986283 41.605225 77.341443
    Oben rechts KachelX + 1 20172 KachelY 4916 0.72633990 1.34986283 41.616211 77.341443
    Unten links KachelX 20171 KachelY + 1 4917 0.72614816 1.34982080 41.605225 77.339035
    Unten rechts KachelX + 1 20172 KachelY + 1 4917 0.72633990 1.34982080 41.616211 77.339035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34986283-1.34982080) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dl = 267.77312999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34986283-1.34982080) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dr = 267.77312999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72614816-0.72633990) × cos(1.34986283) × R
    0.000191739999999996 × 0.219140525005243 × 6371000     		do = 267.696705169157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72614816-0.72633990) × cos(1.34982080) × R
    0.000191739999999996 × 0.219181533201387 × 6371000     		du = 267.746799778506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34986283)-sin(1.34982080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219140525005243-0.219181533201387)×R²
    abs(0.72633990-0.72614816)×4.10081961439157e-05×R²
    0.000191739999999996×4.10081961439157e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.10081961439157e-05×40589641000000     		ar = 71688.6916393187m²