Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20143 / 28591
↖ ↑ ↗
← N 70.686330°
W124.675598°		 ← 101 m → N 70.686330°
W124.672852°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
N 70.685422°
W124.675598°		 ← 101 m →
10 199 m²		 N 70.685422°
W124.672852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153682708740234 y=0.218135833740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153682708740234 × 217)
    floor (0.153682708740234 × 131072)
    floor (20143.5)     		tx = 20143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218135833740234 × 217)
    floor (0.218135833740234 × 131072)
    floor (28591.5)     		ty = 28591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20143 / 28591 ti = "17/20143/28591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20143/28591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20143 ÷ 217
    20143 ÷ 131072     		x = 0.153678894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28591 ÷ 217
    28591 ÷ 131072     		y = 0.218132019042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153678894042969 × 2 - 1) × π
    -0.692642211914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.17599968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218132019042969 × 2 - 1) × π
    0.563735961914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.77102875646297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17599968} λ = -2.17599968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77102875646297))-π/2
    2×atan(5.87689614746597)-π/2
    2×1.40225275955054-π/2
    2.80450551910107-1.57079632675     		φ = 1.23370919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17599968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.675598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23370919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.686330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20143 KachelY 28591 -2.17599968 1.23370919 -124.675598 70.686330
    Oben rechts KachelX + 1 20144 KachelY 28591 -2.17595175 1.23370919 -124.672852 70.686330
    Unten links KachelX 20143 KachelY + 1 28592 -2.17599968 1.23369334 -124.675598 70.685422
    Unten rechts KachelX + 1 20144 KachelY + 1 28592 -2.17595175 1.23369334 -124.672852 70.685422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23370919-1.23369334) × R
    1.58499999998174e-05 × 6371000     		dl = 100.980349998837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23370919-1.23369334) × R
    1.58499999998174e-05 × 6371000     		dr = 100.980349998837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17599968--2.17595175) × cos(1.23370919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330739565867537 × 6371000     		do = 100.995305234692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17599968--2.17595175) × cos(1.23369334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330754523820752 × 6371000     		du = 100.99987282565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23370919)-sin(1.23369334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330739565867537-0.330754523820752)×R²
    abs(-2.17595175--2.17599968)×1.49579532151001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49579532151001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49579532151001e-05×40589641000000     		ar = 10198.7718894502m²