Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20141 / 4761
↖ ↑ ↗
← N 77.709252°
E 41.275635°		 ← 260.05 m → N 77.709252°
E 41.286621°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 77.706913°
E 41.275635°		 ← 260.10 m →
67 637 m²		 N 77.706913°
E 41.286621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614669799804688 y=0.145309448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614669799804688 × 215)
    floor (0.614669799804688 × 32768)
    floor (20141.5)     		tx = 20141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145309448242188 × 215)
    floor (0.145309448242188 × 32768)
    floor (4761.5)     		ty = 4761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20141 / 4761 ti = "15/20141/4761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20141/4761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20141 ÷ 215
    20141 ÷ 32768     		x = 0.614654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4761 ÷ 215
    4761 ÷ 32768     		y = 0.145294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614654541015625 × 2 - 1) × π
    0.22930908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72039573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145294189453125 × 2 - 1) × π
    0.70941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22868233713565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72039573} λ = 0.72039573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22868233713565))-π/2
    2×atan(9.28762006114086)-π/2
    2×1.4635393158011-π/2
    2.9270786316022-1.57079632675     		φ = 1.35628230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72039573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.275635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35628230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.709252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20141 KachelY 4761 0.72039573 1.35628230 41.275635 77.709252
    Oben rechts KachelX + 1 20142 KachelY 4761 0.72058748 1.35628230 41.286621 77.709252
    Unten links KachelX 20141 KachelY + 1 4762 0.72039573 1.35624148 41.275635 77.706913
    Unten rechts KachelX + 1 20142 KachelY + 1 4762 0.72058748 1.35624148 41.286621 77.706913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35628230-1.35624148) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dl = 260.064219999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35628230-1.35624148) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dr = 260.064219999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72039573-0.72058748) × cos(1.35628230) × R
    0.000191749999999935 × 0.212872618776742 × 6371000     		do = 260.053546347867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72039573-0.72058748) × cos(1.35624148) × R
    0.000191749999999935 × 0.212912503003345 × 6371000     		du = 260.102270484541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35628230)-sin(1.35624148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212872618776742-0.212912503003345)×R²
    abs(0.72058748-0.72039573)×3.98842266029487e-05×R²
    0.000191749999999935×3.98842266029487e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.98842266029487e-05×40589641000000     		ar = 67636.9584014331m²