Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20138 / 4760
↖ ↑ ↗
← N 77.711590°
E 41.242676°		 ← 260 m → N 77.711590°
E 41.253662°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 77.709252°
E 41.242676°		 ← 260.05 m →
67 624 m²		 N 77.709252°
E 41.253662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614578247070312 y=0.145278930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614578247070312 × 215)
    floor (0.614578247070312 × 32768)
    floor (20138.5)     		tx = 20138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145278930664062 × 215)
    floor (0.145278930664062 × 32768)
    floor (4760.5)     		ty = 4760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20138 / 4760 ti = "15/20138/4760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20138/4760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20138 ÷ 215
    20138 ÷ 32768     		x = 0.61456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4760 ÷ 215
    4760 ÷ 32768     		y = 0.145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    0.2291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71982048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    0.70947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22887408473413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71982048} λ = 0.71982048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22887408473413))-π/2
    2×atan(9.28940111073372)-π/2
    2×1.46355972279565-π/2
    2.92711944559129-1.57079632675     		φ = 1.35632312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71982048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.242676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35632312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.711590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20138 KachelY 4760 0.71982048 1.35632312 41.242676 77.711590
    Oben rechts KachelX + 1 20139 KachelY 4760 0.72001223 1.35632312 41.253662 77.711590
    Unten links KachelX 20138 KachelY + 1 4761 0.71982048 1.35628230 41.242676 77.709252
    Unten rechts KachelX + 1 20139 KachelY + 1 4761 0.72001223 1.35628230 41.253662 77.709252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35632312-1.35628230) × R
    4.08200000001635e-05 × 6371000     		dl = 260.064220001042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35632312-1.35628230) × R
    4.08200000001635e-05 × 6371000     		dr = 260.064220001042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71982048-0.72001223) × cos(1.35632312) × R
    0.000191750000000046 × 0.212832734195435 × 6371000     		do = 260.004821778023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71982048-0.72001223) × cos(1.35628230) × R
    0.000191750000000046 × 0.212872618776742 × 6371000     		du = 260.053546348017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35632312)-sin(1.35628230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212832734195435-0.212872618776742)×R²
    abs(0.72001223-0.71982048)×3.98845813069648e-05×R²
    0.000191750000000046×3.98845813069648e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.98845813069648e-05×40589641000000     		ar = 67624.2869399204m²