Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20137 / 4769
↖ ↑ ↗
← N 77.690529°
E 41.231690°		 ← 260.43 m → N 77.690529°
E 41.242676°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 77.688186°
E 41.231690°		 ← 260.48 m →
67 851 m²		 N 77.688186°
E 41.242676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614547729492188 y=0.145553588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614547729492188 × 215)
    floor (0.614547729492188 × 32768)
    floor (20137.5)     		tx = 20137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145553588867188 × 215)
    floor (0.145553588867188 × 32768)
    floor (4769.5)     		ty = 4769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20137 / 4769 ti = "15/20137/4769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20137/4769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20137 ÷ 215
    20137 ÷ 32768     		x = 0.614532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4769 ÷ 215
    4769 ÷ 32768     		y = 0.145538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614532470703125 × 2 - 1) × π
    0.22906494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71962874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145538330078125 × 2 - 1) × π
    0.70892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22714835634781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71962874} λ = 0.71962874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22714835634781))-π/2
    2×atan(9.27338395215272)-π/2
    2×1.46337592213546-π/2
    2.92675184427092-1.57079632675     		φ = 1.35595552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71962874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.231690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35595552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.690529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20137 KachelY 4769 0.71962874 1.35595552 41.231690 77.690529
    Oben rechts KachelX + 1 20138 KachelY 4769 0.71982048 1.35595552 41.242676 77.690529
    Unten links KachelX 20137 KachelY + 1 4770 0.71962874 1.35591463 41.231690 77.688186
    Unten rechts KachelX + 1 20138 KachelY + 1 4770 0.71982048 1.35591463 41.242676 77.688186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35595552-1.35591463) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35595552-1.35591463) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71962874-0.71982048) × cos(1.35595552) × R
    0.000191739999999996 × 0.213191897594559 × 6371000     		do = 260.430007427692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71962874-0.71982048) × cos(1.35591463) × R
    0.000191739999999996 × 0.213231847369339 × 6371000     		du = 260.478809095392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35595552)-sin(1.35591463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213191897594559-0.213231847369339)×R²
    abs(0.71982048-0.71962874)×3.9949774780057e-05×R²
    0.000191739999999996×3.9949774780057e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.9949774780057e-05×40589641000000     		ar = 67851.0273914571m²