Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20135 / 4775
↖ ↑ ↗
← N 77.676468°
E 41.209717°		 ← 260.74 m → N 77.676468°
E 41.220703°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
N 77.674122°
E 41.209717°		 ← 260.79 m →
67 997 m²		 N 77.674122°
E 41.220703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614486694335938 y=0.145736694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614486694335938 × 215)
    floor (0.614486694335938 × 32768)
    floor (20135.5)     		tx = 20135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145736694335938 × 215)
    floor (0.145736694335938 × 32768)
    floor (4775.5)     		ty = 4775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20135 / 4775 ti = "15/20135/4775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20135/4775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20135 ÷ 215
    20135 ÷ 32768     		x = 0.614471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4775 ÷ 215
    4775 ÷ 32768     		y = 0.145721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614471435546875 × 2 - 1) × π
    0.22894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71924524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145721435546875 × 2 - 1) × π
    0.70855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22599787075693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71924524} λ = 0.71924524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22599787075693))-π/2
    2×atan(9.26272119238891)-π/2
    2×1.46325321608203-π/2
    2.92650643216405-1.57079632675     		φ = 1.35571011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71924524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.209717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35571011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.676468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20135 KachelY 4775 0.71924524 1.35571011 41.209717 77.676468
    Oben rechts KachelX + 1 20136 KachelY 4775 0.71943699 1.35571011 41.220703 77.676468
    Unten links KachelX 20135 KachelY + 1 4776 0.71924524 1.35566918 41.209717 77.674122
    Unten rechts KachelX + 1 20136 KachelY + 1 4776 0.71943699 1.35566918 41.220703 77.674122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35571011-1.35566918) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dl = 260.765029999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35571011-1.35566918) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dr = 260.765029999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71924524-0.71943699) × cos(1.35571011) × R
    0.000191750000000046 × 0.213431659281135 × 6371000     		do = 260.736492170523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71924524-0.71943699) × cos(1.35566918) × R
    0.000191750000000046 × 0.213471645993141 × 6371000     		du = 260.785341507388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35571011)-sin(1.35566918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213431659281135-0.213471645993141)×R²
    abs(0.71943699-0.71924524)×3.99867120059461e-05×R²
    0.000191750000000046×3.99867120059461e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.99867120059461e-05×40589641000000     		ar = 67997.3283117082m²