Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20135 / 4763
↖ ↑ ↗
← N 77.704573°
E 41.209717°		 ← 260.15 m → N 77.704573°
E 41.220703°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
N 77.702234°
E 41.209717°		 ← 260.20 m →
67 679 m²		 N 77.702234°
E 41.220703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614486694335938 y=0.145370483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614486694335938 × 215)
    floor (0.614486694335938 × 32768)
    floor (20135.5)     		tx = 20135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145370483398438 × 215)
    floor (0.145370483398438 × 32768)
    floor (4763.5)     		ty = 4763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20135 / 4763 ti = "15/20135/4763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20135/4763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20135 ÷ 215
    20135 ÷ 32768     		x = 0.614471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4763 ÷ 215
    4763 ÷ 32768     		y = 0.145355224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614471435546875 × 2 - 1) × π
    0.22894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71924524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145355224609375 × 2 - 1) × π
    0.70928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22829884193869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71924524} λ = 0.71924524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22829884193869))-π/2
    2×atan(9.28405898632741)-π/2
    2×1.46349849034033-π/2
    2.92699698068066-1.57079632675     		φ = 1.35620065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71924524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.209717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35620065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.704573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20135 KachelY 4763 0.71924524 1.35620065 41.209717 77.704573
    Oben rechts KachelX + 1 20136 KachelY 4763 0.71943699 1.35620065 41.220703 77.704573
    Unten links KachelX 20135 KachelY + 1 4764 0.71924524 1.35615982 41.209717 77.702234
    Unten rechts KachelX + 1 20136 KachelY + 1 4764 0.71943699 1.35615982 41.220703 77.702234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35620065-1.35615982) × R
    4.08299999998807e-05 × 6371000     		dl = 260.12792999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35620065-1.35615982) × R
    4.08299999998807e-05 × 6371000     		dr = 260.12792999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71924524-0.71943699) × cos(1.35620065) × R
    0.000191750000000046 × 0.212952396645803 × 6371000     		do = 260.151006124144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71924524-0.71943699) × cos(1.35615982) × R
    0.000191750000000046 × 0.212992289933251 × 6371000     		du = 260.199741329902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35620065)-sin(1.35615982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212952396645803-0.212992289933251)×R²
    abs(0.71943699-0.71924524)×3.98932874478564e-05×R²
    0.000191750000000046×3.98932874478564e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.98932874478564e-05×40589641000000     		ar = 67678.8814143737m²