Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20135 / 4754
↖ ↑ ↗
← N 77.725612°
E 41.209717°		 ← 259.71 m → N 77.725612°
E 41.220703°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
N 77.723276°
E 41.209717°		 ← 259.76 m →
67 466 m²		 N 77.723276°
E 41.220703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614486694335938 y=0.145095825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614486694335938 × 215)
    floor (0.614486694335938 × 32768)
    floor (20135.5)     		tx = 20135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145095825195312 × 215)
    floor (0.145095825195312 × 32768)
    floor (4754.5)     		ty = 4754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20135 / 4754 ti = "15/20135/4754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20135/4754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20135 ÷ 215
    20135 ÷ 32768     		x = 0.614471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4754 ÷ 215
    4754 ÷ 32768     		y = 0.14508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614471435546875 × 2 - 1) × π
    0.22894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71924524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14508056640625 × 2 - 1) × π
    0.7098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23002457032501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71924524} λ = 0.71924524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23002457032501))-π/2
    2×atan(9.30009458302292)-π/2
    2×1.46368208450418-π/2
    2.92736416900836-1.57079632675     		φ = 1.35656784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71924524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.209717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35656784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.725612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20135 KachelY 4754 0.71924524 1.35656784 41.209717 77.725612
    Oben rechts KachelX + 1 20136 KachelY 4754 0.71943699 1.35656784 41.220703 77.725612
    Unten links KachelX 20135 KachelY + 1 4755 0.71924524 1.35652707 41.209717 77.723276
    Unten rechts KachelX + 1 20136 KachelY + 1 4755 0.71943699 1.35652707 41.220703 77.723276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35656784-1.35652707) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35656784-1.35652707) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71924524-0.71943699) × cos(1.35656784) × R
    0.000191750000000046 × 0.212593614690682 × 6371000     		do = 259.712704005576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71924524-0.71943699) × cos(1.35652707) × R
    0.000191750000000046 × 0.212633452540478 × 6371000     		du = 259.761371486523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35656784)-sin(1.35652707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212593614690682-0.212633452540478)×R²
    abs(0.71943699-0.71924524)×3.98378497964702e-05×R²
    0.000191750000000046×3.98378497964702e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.98378497964702e-05×40589641000000     		ar = 67465.5709030289m²