Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20133 / 4764
↖ ↑ ↗
← N 77.702234°
E 41.187744°		 ← 260.19 m → N 77.702234°
E 41.198730°		 →
↑
260.26 m
↓
↑
260.26 m
↓
N 77.699894°
E 41.187744°		 ← 260.23 m →
67 721 m²		 N 77.699894°
E 41.198730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614425659179688 y=0.145401000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614425659179688 × 215)
    floor (0.614425659179688 × 32768)
    floor (20133.5)     		tx = 20133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145401000976562 × 215)
    floor (0.145401000976562 × 32768)
    floor (4764.5)     		ty = 4764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20133 / 4764 ti = "15/20133/4764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20133/4764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20133 ÷ 215
    20133 ÷ 32768     		x = 0.614410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4764 ÷ 215
    4764 ÷ 32768     		y = 0.1453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614410400390625 × 2 - 1) × π
    0.22882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71886175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    0.709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22810709434021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71886175} λ = 0.71886175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22810709434021))-π/2
    2×atan(9.28227896097588)-π/2
    2×1.46347807187274-π/2
    2.92695614374548-1.57079632675     		φ = 1.35615982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71886175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.187744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35615982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.702234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20133 KachelY 4764 0.71886175 1.35615982 41.187744 77.702234
    Oben rechts KachelX + 1 20134 KachelY 4764 0.71905349 1.35615982 41.198730 77.702234
    Unten links KachelX 20133 KachelY + 1 4765 0.71886175 1.35611897 41.187744 77.699894
    Unten rechts KachelX + 1 20134 KachelY + 1 4765 0.71905349 1.35611897 41.198730 77.699894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35615982-1.35611897) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dl = 260.25534999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35615982-1.35611897) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dr = 260.25534999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71886175-0.71905349) × cos(1.35615982) × R
    0.000191739999999996 × 0.212992289933251 × 6371000     		do = 260.186171591042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71886175-0.71905349) × cos(1.35611897) × R
    0.000191739999999996 × 0.213032202406526 × 6371000     		du = 260.234927692135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35615982)-sin(1.35611897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212992289933251-0.213032202406526)×R²
    abs(0.71905349-0.71886175)×3.9912473274506e-05×R²
    0.000191739999999996×3.9912473274506e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.9912473274506e-05×40589641000000     		ar = 67721.1876799143m²