Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20132 / 4778
↖ ↑ ↗
← N 77.669431°
E 41.176758°		 ← 260.88 m → N 77.669431°
E 41.187744°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
N 77.667084°
E 41.176758°		 ← 260.93 m →
68 085 m²		 N 77.667084°
E 41.187744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614395141601562 y=0.145828247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614395141601562 × 215)
    floor (0.614395141601562 × 32768)
    floor (20132.5)     		tx = 20132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145828247070312 × 215)
    floor (0.145828247070312 × 32768)
    floor (4778.5)     		ty = 4778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20132 / 4778 ti = "15/20132/4778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20132/4778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20132 ÷ 215
    20132 ÷ 32768     		x = 0.6143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4778 ÷ 215
    4778 ÷ 32768     		y = 0.14581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6143798828125 × 2 - 1) × π
    0.228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71867000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14581298828125 × 2 - 1) × π
    0.7083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22542262796149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71867000} λ = 0.71867000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22542262796149))-π/2
    2×atan(9.25739441100001)-π/2
    2×1.46319181131596-π/2
    2.92638362263192-1.57079632675     		φ = 1.35558730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71867000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.176758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35558730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.669431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20132 KachelY 4778 0.71867000 1.35558730 41.176758 77.669431
    Oben rechts KachelX + 1 20133 KachelY 4778 0.71886175 1.35558730 41.187744 77.669431
    Unten links KachelX 20132 KachelY + 1 4779 0.71867000 1.35554634 41.176758 77.667084
    Unten rechts KachelX + 1 20133 KachelY + 1 4779 0.71886175 1.35554634 41.187744 77.667084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35558730-1.35554634) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35558730-1.35554634) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71867000-0.71886175) × cos(1.35558730) × R
    0.000191749999999935 × 0.213551637882857 × 6371000     		do = 260.883062739396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71867000-0.71886175) × cos(1.35554634) × R
    0.000191749999999935 × 0.213591652829313 × 6371000     		du = 260.931946568574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35558730)-sin(1.35554634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213551637882857-0.213591652829313)×R²
    abs(0.71886175-0.71867000)×4.00149464565014e-05×R²
    0.000191749999999935×4.00149464565014e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.00149464565014e-05×40589641000000     		ar = 68085.4205385904m²