Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20131 / 4780
↖ ↑ ↗
← N 77.664737°
E 41.165771°		 ← 260.98 m → N 77.664737°
E 41.176758°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
N 77.662391°
E 41.165771°		 ← 261.03 m →
68 111 m²		 N 77.662391°
E 41.176758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614364624023438 y=0.145889282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614364624023438 × 215)
    floor (0.614364624023438 × 32768)
    floor (20131.5)     		tx = 20131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145889282226562 × 215)
    floor (0.145889282226562 × 32768)
    floor (4780.5)     		ty = 4780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20131 / 4780 ti = "15/20131/4780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20131/4780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20131 ÷ 215
    20131 ÷ 32768     		x = 0.614349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4780 ÷ 215
    4780 ÷ 32768     		y = 0.1458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614349365234375 × 2 - 1) × π
    0.22869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71847825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1458740234375 × 2 - 1) × π
    0.708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22503913276453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71847825} λ = 0.71847825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22503913276453))-π/2
    2×atan(9.25384492535587)-π/2
    2×1.46315085563-π/2
    2.92630171125999-1.57079632675     		φ = 1.35550538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71847825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.165771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35550538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.664737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20131 KachelY 4780 0.71847825 1.35550538 41.165771 77.664737
    Oben rechts KachelX + 1 20132 KachelY 4780 0.71867000 1.35550538 41.176758 77.664737
    Unten links KachelX 20131 KachelY + 1 4781 0.71847825 1.35546442 41.165771 77.662391
    Unten rechts KachelX + 1 20132 KachelY + 1 4781 0.71867000 1.35546442 41.176758 77.662391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35550538-1.35546442) × R
    4.09600000002008e-05 × 6371000     		dl = 260.956160001279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35550538-1.35546442) × R
    4.09600000002008e-05 × 6371000     		dr = 260.956160001279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71847825-0.71867000) × cos(1.35550538) × R
    0.000191750000000046 × 0.213631667417422 × 6371000     		do = 260.980829960132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71847825-0.71867000) × cos(1.35546442) × R
    0.000191750000000046 × 0.213671681647117 × 6371000     		du = 261.029712913686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35550538)-sin(1.35546442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213631667417422-0.213671681647117)×R²
    abs(0.71867000-0.71847825)×4.00142296949624e-05×R²
    0.000191750000000046×4.00142296949624e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.00142296949624e-05×40589641000000     		ar = 68110.9333831573m²