Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20131 / 4779
↖ ↑ ↗
← N 77.667084°
E 41.165771°		 ← 260.93 m → N 77.667084°
E 41.176758°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
N 77.664737°
E 41.165771°		 ← 260.98 m →
68 098 m²		 N 77.664737°
E 41.176758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614364624023438 y=0.145858764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614364624023438 × 215)
    floor (0.614364624023438 × 32768)
    floor (20131.5)     		tx = 20131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145858764648438 × 215)
    floor (0.145858764648438 × 32768)
    floor (4779.5)     		ty = 4779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20131 / 4779 ti = "15/20131/4779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20131/4779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20131 ÷ 215
    20131 ÷ 32768     		x = 0.614349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4779 ÷ 215
    4779 ÷ 32768     		y = 0.145843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614349365234375 × 2 - 1) × π
    0.22869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71847825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145843505859375 × 2 - 1) × π
    0.70831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22523088036301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71847825} λ = 0.71847825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22523088036301))-π/2
    2×atan(9.2556194980266)-π/2
    2×1.46317133539096-π/2
    2.92634267078192-1.57079632675     		φ = 1.35554634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71847825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.165771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35554634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.667084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20131 KachelY 4779 0.71847825 1.35554634 41.165771 77.667084
    Oben rechts KachelX + 1 20132 KachelY 4779 0.71867000 1.35554634 41.176758 77.667084
    Unten links KachelX 20131 KachelY + 1 4780 0.71847825 1.35550538 41.165771 77.664737
    Unten rechts KachelX + 1 20132 KachelY + 1 4780 0.71867000 1.35550538 41.176758 77.664737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35554634-1.35550538) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35554634-1.35550538) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71847825-0.71867000) × cos(1.35554634) × R
    0.000191750000000046 × 0.213591652829313 × 6371000     		do = 260.931946568725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71847825-0.71867000) × cos(1.35550538) × R
    0.000191750000000046 × 0.213631667417422 × 6371000     		du = 260.980829960132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35554634)-sin(1.35550538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213591652829313-0.213631667417422)×R²
    abs(0.71867000-0.71847825)×4.00145881092051e-05×R²
    0.000191750000000046×4.00145881092051e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.00145881092051e-05×40589641000000     		ar = 68098.1770192199m²