Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20130 / 4770
↖ ↑ ↗
← N 77.688186°
E 41.154785°		 ← 260.49 m → N 77.688186°
E 41.165771°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 77.685843°
E 41.154785°		 ← 260.54 m →
67 867 m²		 N 77.685843°
E 41.165771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614334106445312 y=0.145584106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614334106445312 × 215)
    floor (0.614334106445312 × 32768)
    floor (20130.5)     		tx = 20130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145584106445312 × 215)
    floor (0.145584106445312 × 32768)
    floor (4770.5)     		ty = 4770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20130 / 4770 ti = "15/20130/4770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20130/4770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20130 ÷ 215
    20130 ÷ 32768     		x = 0.61431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4770 ÷ 215
    4770 ÷ 32768     		y = 0.14556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71828650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14556884765625 × 2 - 1) × π
    0.7088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22695660874933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71828650} λ = 0.71828650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22695660874933))-π/2
    2×atan(9.27160597351712)-π/2
    2×1.46335548070336-π/2
    2.92671096140672-1.57079632675     		φ = 1.35591463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71828650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35591463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.688186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20130 KachelY 4770 0.71828650 1.35591463 41.154785 77.688186
    Oben rechts KachelX + 1 20131 KachelY 4770 0.71847825 1.35591463 41.165771 77.688186
    Unten links KachelX 20130 KachelY + 1 4771 0.71828650 1.35587374 41.154785 77.685843
    Unten rechts KachelX + 1 20131 KachelY + 1 4771 0.71847825 1.35587374 41.165771 77.685843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35591463-1.35587374) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35591463-1.35587374) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71828650-0.71847825) × cos(1.35591463) × R
    0.000191749999999935 × 0.213231847369339 × 6371000     		do = 260.492394096306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71828650-0.71847825) × cos(1.35587374) × R
    0.000191749999999935 × 0.213271796787597 × 6371000     		du = 260.541197873664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35591463)-sin(1.35587374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213231847369339-0.213271796787597)×R²
    abs(0.71847825-0.71828650)×3.99494182581339e-05×R²
    0.000191749999999935×3.99494182581339e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.99494182581339e-05×40589641000000     		ar = 67867.2800297688m²