Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20129 / 4774
↖ ↑ ↗
← N 77.678812°
E 41.143799°		 ← 260.67 m → N 77.678812°
E 41.154785°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
N 77.676468°
E 41.143799°		 ← 260.72 m →
67 964 m²		 N 77.676468°
E 41.154785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614303588867188 y=0.145706176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614303588867188 × 215)
    floor (0.614303588867188 × 32768)
    floor (20129.5)     		tx = 20129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145706176757812 × 215)
    floor (0.145706176757812 × 32768)
    floor (4774.5)     		ty = 4774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20129 / 4774 ti = "15/20129/4774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20129/4774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20129 ÷ 215
    20129 ÷ 32768     		x = 0.614288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4774 ÷ 215
    4774 ÷ 32768     		y = 0.14569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614288330078125 × 2 - 1) × π
    0.22857666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71809476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14569091796875 × 2 - 1) × π
    0.7086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22618961835541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71809476} λ = 0.71809476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22618961835541))-π/2
    2×atan(9.26449746722572)-π/2
    2×1.46327367667001-π/2
    2.92654735334003-1.57079632675     		φ = 1.35575103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71809476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.143799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35575103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.678812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20129 KachelY 4774 0.71809476 1.35575103 41.143799 77.678812
    Oben rechts KachelX + 1 20130 KachelY 4774 0.71828650 1.35575103 41.154785 77.678812
    Unten links KachelX 20129 KachelY + 1 4775 0.71809476 1.35571011 41.143799 77.676468
    Unten rechts KachelX + 1 20130 KachelY + 1 4775 0.71828650 1.35571011 41.154785 77.676468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35575103-1.35571011) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35575103-1.35571011) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71809476-0.71828650) × cos(1.35575103) × R
    0.000191739999999996 × 0.213391681981241 × 6371000     		do = 260.674059147737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71809476-0.71828650) × cos(1.35571011) × R
    0.000191739999999996 × 0.213431659281135 × 6371000     		du = 260.722894439442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35575103)-sin(1.35571011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213391681981241-0.213431659281135)×R²
    abs(0.71828650-0.71809476)×3.99772998932735e-05×R²
    0.000191739999999996×3.99772998932735e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.99772998932735e-05×40589641000000     		ar = 67964.4370316692m²