Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20126 / 4782
↖ ↑ ↗
← N 77.660043°
E 41.110840°		 ← 261.08 m → N 77.660043°
E 41.121826°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
N 77.657695°
E 41.110840°		 ← 261.13 m →
68 170 m²		 N 77.657695°
E 41.121826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614212036132812 y=0.145950317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614212036132812 × 215)
    floor (0.614212036132812 × 32768)
    floor (20126.5)     		tx = 20126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145950317382812 × 215)
    floor (0.145950317382812 × 32768)
    floor (4782.5)     		ty = 4782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20126 / 4782 ti = "15/20126/4782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20126/4782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20126 ÷ 215
    20126 ÷ 32768     		x = 0.61419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4782 ÷ 215
    4782 ÷ 32768     		y = 0.14593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61419677734375 × 2 - 1) × π
    0.2283935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71751951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14593505859375 × 2 - 1) × π
    0.7081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22465563756757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71751951} λ = 0.71751951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22465563756757))-π/2
    2×atan(9.25029680066145)-π/2
    2×1.46310988459744-π/2
    2.92621976919487-1.57079632675     		φ = 1.35542344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71751951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.110840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35542344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.660043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20126 KachelY 4782 0.71751951 1.35542344 41.110840 77.660043
    Oben rechts KachelX + 1 20127 KachelY 4782 0.71771126 1.35542344 41.121826 77.660043
    Unten links KachelX 20126 KachelY + 1 4783 0.71751951 1.35538246 41.110840 77.657695
    Unten rechts KachelX + 1 20127 KachelY + 1 4783 0.71771126 1.35538246 41.121826 77.657695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35542344-1.35538246) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dl = 261.083580000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35542344-1.35538246) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dr = 261.083580000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71751951-0.71771126) × cos(1.35542344) × R
    0.000191749999999935 × 0.213711715056266 × 6371000     		do = 261.078619297462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71751951-0.71771126) × cos(1.35538246) × R
    0.000191749999999935 × 0.213751748106515 × 6371000     		du = 261.127525242944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35542344)-sin(1.35538246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213711715056266-0.213751748106515)×R²
    abs(0.71771126-0.71751951)×4.00330502497159e-05×R²
    0.000191749999999935×4.00330502497159e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.00330502497159e-05×40589641000000     		ar = 68169.7248667027m²