Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20125 / 4781
↖ ↑ ↗
← N 77.662391°
E 41.099854°		 ← 261.02 m → N 77.662391°
E 41.110840°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
N 77.660043°
E 41.099854°		 ← 261.07 m →
68 153 m²		 N 77.660043°
E 41.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614181518554688 y=0.145919799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614181518554688 × 215)
    floor (0.614181518554688 × 32768)
    floor (20125.5)     		tx = 20125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145919799804688 × 215)
    floor (0.145919799804688 × 32768)
    floor (4781.5)     		ty = 4781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20125 / 4781 ti = "15/20125/4781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20125/4781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20125 ÷ 215
    20125 ÷ 32768     		x = 0.614166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4781 ÷ 215
    4781 ÷ 32768     		y = 0.145904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614166259765625 × 2 - 1) × π
    0.22833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71732777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145904541015625 × 2 - 1) × π
    0.70819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22484738516605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71732777} λ = 0.71732777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22484738516605))-π/2
    2×atan(9.25207069292256)-π/2
    2×1.46313037203238-π/2
    2.92626074406477-1.57079632675     		φ = 1.35546442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71732777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.099854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35546442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.662391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20125 KachelY 4781 0.71732777 1.35546442 41.099854 77.662391
    Oben rechts KachelX + 1 20126 KachelY 4781 0.71751951 1.35546442 41.110840 77.662391
    Unten links KachelX 20125 KachelY + 1 4782 0.71732777 1.35542344 41.099854 77.660043
    Unten rechts KachelX + 1 20126 KachelY + 1 4782 0.71751951 1.35542344 41.110840 77.660043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35546442-1.35542344) × R
    4.09799999998572e-05 × 6371000     		dl = 261.08357999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35546442-1.35542344) × R
    4.09799999998572e-05 × 6371000     		dr = 261.08357999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71732777-0.71751951) × cos(1.35546442) × R
    0.000191739999999996 × 0.213671681647117 × 6371000     		do = 261.01609989078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71732777-0.71751951) × cos(1.35542344) × R
    0.000191739999999996 × 0.213711715056266 × 6371000     		du = 261.065003724178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35546442)-sin(1.35542344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213671681647117-0.213711715056266)×R²
    abs(0.71751951-0.71732777)×4.00334091484877e-05×R²
    0.000191739999999996×4.00334091484877e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.00334091484877e-05×40589641000000     		ar = 68153.4018009891m²