Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20120 / 35496
↖ ↑ ↗
← N 63.342272°
W124.738769°		 ← 137 m → N 63.342272°
W124.736023°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
N 63.341041°
W124.738769°		 ← 137.01 m →
18 767 m²		 N 63.341041°
W124.736023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153507232666016 y=0.270816802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153507232666016 × 217)
    floor (0.153507232666016 × 131072)
    floor (20120.5)     		tx = 20120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270816802978516 × 217)
    floor (0.270816802978516 × 131072)
    floor (35496.5)     		ty = 35496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20120 / 35496 ti = "17/20120/35496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20120/35496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20120 ÷ 217
    20120 ÷ 131072     		x = 0.15350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35496 ÷ 217
    35496 ÷ 131072     		y = 0.27081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.6929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17710223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27081298828125 × 2 - 1) × π
    0.4583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17710223} λ = -2.17710223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44002446458649))-π/2
    2×atan(4.22079907583749)-π/2
    2×1.33816377078698-π/2
    2.67632754157395-1.57079632675     		φ = 1.10553121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17710223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.738769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10553121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.342272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20120 KachelY 35496 -2.17710223 1.10553121 -124.738769 63.342272
    Oben rechts KachelX + 1 20121 KachelY 35496 -2.17705430 1.10553121 -124.736023 63.342272
    Unten links KachelX 20120 KachelY + 1 35497 -2.17710223 1.10550971 -124.738769 63.341041
    Unten rechts KachelX + 1 20121 KachelY + 1 35497 -2.17705430 1.10550971 -124.736023 63.341041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10553121-1.10550971) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dl = 136.976500000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10553121-1.10550971) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dr = 136.976500000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17710223--2.17705430) × cos(1.10553121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448659752792414 × 6371000     		do = 137.003652892074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17710223--2.17705430) × cos(1.10550971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448678967295686 × 6371000     		du = 137.009520271798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10553121)-sin(1.10550971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448659752792414-0.448678967295686)×R²
    abs(-2.17705430--2.17710223)×1.92145032724134e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92145032724134e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92145032724134e-05×40589641000000     		ar = 18766.6827077184m²