Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20103 / 4733
↖ ↑ ↗
← N 77.774564°
E 40.858154°		 ← 258.69 m → N 77.774564°
E 40.869141°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
N 77.772237°
E 40.858154°		 ← 258.74 m →
66 937 m²		 N 77.772237°
E 40.869141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613510131835938 y=0.144454956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613510131835938 × 215)
    floor (0.613510131835938 × 32768)
    floor (20103.5)     		tx = 20103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144454956054688 × 215)
    floor (0.144454956054688 × 32768)
    floor (4733.5)     		ty = 4733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20103 / 4733 ti = "15/20103/4733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20103/4733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20103 ÷ 215
    20103 ÷ 32768     		x = 0.613494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4733 ÷ 215
    4733 ÷ 32768     		y = 0.144439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613494873046875 × 2 - 1) × π
    0.22698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71310932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144439697265625 × 2 - 1) × π
    0.71112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2340512698931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71310932} λ = 0.71310932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2340512698931))-π/2
    2×atan(9.33761876847181)-π/2
    2×1.46410926879404-π/2
    2.92821853758807-1.57079632675     		φ = 1.35742221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71310932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.858154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35742221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.774564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20103 KachelY 4733 0.71310932 1.35742221 40.858154 77.774564
    Oben rechts KachelX + 1 20104 KachelY 4733 0.71330107 1.35742221 40.869141 77.774564
    Unten links KachelX 20103 KachelY + 1 4734 0.71310932 1.35738160 40.858154 77.772237
    Unten rechts KachelX + 1 20104 KachelY + 1 4734 0.71330107 1.35738160 40.869141 77.772237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35742221-1.35738160) × R
    4.06099999998855e-05 × 6371000     		dl = 258.72630999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35742221-1.35738160) × R
    4.06099999998855e-05 × 6371000     		dr = 258.72630999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71310932-0.71330107) × cos(1.35742221) × R
    0.000191749999999935 × 0.211758697498007 × 6371000     		do = 258.692736392354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71310932-0.71330107) × cos(1.35738160) × R
    0.000191749999999935 × 0.21179838636902 × 6371000     		du = 258.741221874972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35742221)-sin(1.35738160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211758697498007-0.21179838636902)×R²
    abs(0.71330107-0.71310932)×3.96888710134935e-05×R²
    0.000191749999999935×3.96888710134935e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.96888710134935e-05×40589641000000     		ar = 66936.8893540315m²