Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20103 / 28537
↖ ↑ ↗
← N 70.735324°
W124.785461°		 ← 100.77 m → N 70.735324°
W124.782715°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 70.734418°
W124.785461°		 ← 100.77 m →
10 157 m²		 N 70.734418°
W124.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153377532958984 y=0.217723846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153377532958984 × 217)
    floor (0.153377532958984 × 131072)
    floor (20103.5)     		tx = 20103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217723846435547 × 217)
    floor (0.217723846435547 × 131072)
    floor (28537.5)     		ty = 28537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20103 / 28537 ti = "17/20103/28537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20103/28537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20103 ÷ 217
    20103 ÷ 131072     		x = 0.153373718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28537 ÷ 217
    28537 ÷ 131072     		y = 0.217720031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153373718261719 × 2 - 1) × π
    -0.693252563476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.17791716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217720031738281 × 2 - 1) × π
    0.564559936523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.77361734904246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17791716} λ = -2.17791716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77361734904246))-π/2
    2×atan(5.89212874421125)-π/2
    2×1.40268031203932-π/2
    2.80536062407864-1.57079632675     		φ = 1.23456430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17791716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.785461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23456430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.735324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20103 KachelY 28537 -2.17791716 1.23456430 -124.785461 70.735324
    Oben rechts KachelX + 1 20104 KachelY 28537 -2.17786922 1.23456430 -124.782715 70.735324
    Unten links KachelX 20103 KachelY + 1 28538 -2.17791716 1.23454848 -124.785461 70.734418
    Unten rechts KachelX + 1 20104 KachelY + 1 28538 -2.17786922 1.23454848 -124.782715 70.734418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23456430-1.23454848) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23456430-1.23454848) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17791716--2.17786922) × cos(1.23456430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329932458868703 × 6371000     		do = 100.769865399927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17791716--2.17786922) × cos(1.23454848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329947392979248 × 6371000     		du = 100.774426661691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23456430)-sin(1.23454848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329932458868703-0.329947392979248)×R²
    abs(-2.17786922--2.17791716)×1.49341105444289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49341105444289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49341105444289e-05×40589641000000     		ar = 10156.7459963038m²