Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20101 / 35203
↖ ↑ ↗
← N 63.701072°
W124.790954°		 ← 135.29 m → N 63.701072°
W124.788208°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
N 63.699855°
W124.790954°		 ← 135.30 m →
18 308 m²		 N 63.699855°
W124.788208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153362274169922 y=0.268581390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153362274169922 × 217)
    floor (0.153362274169922 × 131072)
    floor (20101.5)     		tx = 20101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268581390380859 × 217)
    floor (0.268581390380859 × 131072)
    floor (35203.5)     		ty = 35203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20101 / 35203 ti = "17/20101/35203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20101/35203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20101 ÷ 217
    20101 ÷ 131072     		x = 0.153358459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35203 ÷ 217
    35203 ÷ 131072     		y = 0.268577575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153358459472656 × 2 - 1) × π
    -0.693283081054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.17801303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268577575683594 × 2 - 1) × π
    0.462844848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.45406997617516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17801303} λ = -2.17801303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45406997617516))-π/2
    2×atan(4.28050064624751)-π/2
    2×1.34129488519047-π/2
    2.68258977038095-1.57079632675     		φ = 1.11179344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17801303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.790954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11179344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.701072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20101 KachelY 35203 -2.17801303 1.11179344 -124.790954 63.701072
    Oben rechts KachelX + 1 20102 KachelY 35203 -2.17796510 1.11179344 -124.788208 63.701072
    Unten links KachelX 20101 KachelY + 1 35204 -2.17801303 1.11177220 -124.790954 63.699855
    Unten rechts KachelX + 1 20102 KachelY + 1 35204 -2.17796510 1.11177220 -124.788208 63.699855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11179344-1.11177220) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dl = 135.320039999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11179344-1.11177220) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dr = 135.320039999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17801303--2.17796510) × cos(1.11179344) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.443054420641526 × 6371000     		do = 135.291997286399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17801303--2.17796510) × cos(1.11177220) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.443073462089407 × 6371000     		du = 135.297811821578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11179344)-sin(1.11177220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443054420641526-0.443073462089407)×R²
    abs(-2.17796510--2.17801303)×1.90414478807854e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.90414478807854e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.90414478807854e-05×40589641000000     		ar = 18308.1118965917m²