Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20101 / 10629
↖ ↑ ↗
← N 76.345414°
W 69.581909°		 ← 144.19 m → N 76.345414°
W 69.576416°		 →
↑
144.24 m
↓
↑
144.24 m
↓
N 76.344117°
W 69.581909°		 ← 144.20 m →
20 798 m²		 N 76.344117°
W 69.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306724548339844 y=0.162193298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306724548339844 × 216)
    floor (0.306724548339844 × 65536)
    floor (20101.5)     		tx = 20101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162193298339844 × 216)
    floor (0.162193298339844 × 65536)
    floor (10629.5)     		ty = 10629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20101 / 10629 ti = "16/20101/10629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20101/10629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20101 ÷ 216
    20101 ÷ 65536     		x = 0.306716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10629 ÷ 216
    10629 ÷ 65536     		y = 0.162185668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306716918945312 × 2 - 1) × π
    -0.386566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.21443341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162185668945312 × 2 - 1) × π
    0.675628662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12255004137685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21443341} λ = -1.21443341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12255004137685))-π/2
    2×atan(8.35240934352671)-π/2
    2×1.45163758616004-π/2
    2.90327517232008-1.57079632675     		φ = 1.33247885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21443341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33247885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.345414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20101 KachelY 10629 -1.21443341 1.33247885 -69.581909 76.345414
    Oben rechts KachelX + 1 20102 KachelY 10629 -1.21433754 1.33247885 -69.576416 76.345414
    Unten links KachelX 20101 KachelY + 1 10630 -1.21443341 1.33245621 -69.581909 76.344117
    Unten rechts KachelX + 1 20102 KachelY + 1 10630 -1.21433754 1.33245621 -69.576416 76.344117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33247885-1.33245621) × R
    2.26400000000737e-05 × 6371000     		dl = 144.23944000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33247885-1.33245621) × R
    2.26400000000737e-05 × 6371000     		dr = 144.23944000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21443341--1.21433754) × cos(1.33247885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236067992061291 × 6371000     		do = 144.187442439491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21443341--1.21433754) × cos(1.33245621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236089992116054 × 6371000     		du = 144.200879803879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33247885)-sin(1.33245621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236067992061291-0.236089992116054)×R²
    abs(-1.21433754--1.21443341)×2.20000547626054e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20000547626054e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20000547626054e-05×40589641000000     		ar = 20798.4850527366m²