Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20099 / 4731
↖ ↑ ↗
← N 77.779215°
E 40.814209°		 ← 258.60 m → N 77.779215°
E 40.825196°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
N 77.776890°
E 40.814209°		 ← 258.64 m →
66 879 m²		 N 77.776890°
E 40.825196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613388061523438 y=0.144393920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613388061523438 × 215)
    floor (0.613388061523438 × 32768)
    floor (20099.5)     		tx = 20099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144393920898438 × 215)
    floor (0.144393920898438 × 32768)
    floor (4731.5)     		ty = 4731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20099 / 4731 ti = "15/20099/4731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20099/4731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20099 ÷ 215
    20099 ÷ 32768     		x = 0.613372802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4731 ÷ 215
    4731 ÷ 32768     		y = 0.144378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613372802734375 × 2 - 1) × π
    0.22674560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71234233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144378662109375 × 2 - 1) × π
    0.71124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23443476509006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71234233} λ = 0.71234233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23443476509006))-π/2
    2×atan(9.34120038714345)-π/2
    2×1.4641498654073-π/2
    2.9282997308146-1.57079632675     		φ = 1.35750340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71234233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.814209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35750340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.779215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20099 KachelY 4731 0.71234233 1.35750340 40.814209 77.779215
    Oben rechts KachelX + 1 20100 KachelY 4731 0.71253408 1.35750340 40.825196 77.779215
    Unten links KachelX 20099 KachelY + 1 4732 0.71234233 1.35746281 40.814209 77.776890
    Unten rechts KachelX + 1 20100 KachelY + 1 4732 0.71253408 1.35746281 40.825196 77.776890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35750340-1.35746281) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35750340-1.35746281) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71234233-0.71253408) × cos(1.35750340) × R
    0.000191749999999935 × 0.211679348028541 × 6371000     		do = 258.595799965988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71234233-0.71253408) × cos(1.35746281) × R
    0.000191749999999935 × 0.211719018051072 × 6371000     		du = 258.644262422561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35750340)-sin(1.35746281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211679348028541-0.211719018051072)×R²
    abs(0.71253408-0.71234233)×3.96700225318292e-05×R²
    0.000191749999999935×3.96700225318292e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.96700225318292e-05×40589641000000     		ar = 66878.8530079343m²