Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20099 / 35199
↖ ↑ ↗
← N 63.705939°
W124.796448°		 ← 135.30 m → N 63.705939°
W124.793701°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
N 63.704723°
W124.796448°		 ← 135.30 m →
18 300 m²		 N 63.704723°
W124.793701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153347015380859 y=0.268550872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153347015380859 × 217)
    floor (0.153347015380859 × 131072)
    floor (20099.5)     		tx = 20099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268550872802734 × 217)
    floor (0.268550872802734 × 131072)
    floor (35199.5)     		ty = 35199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20099 / 35199 ti = "17/20099/35199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20099/35199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20099 ÷ 217
    20099 ÷ 131072     		x = 0.153343200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35199 ÷ 217
    35199 ÷ 131072     		y = 0.268547058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153343200683594 × 2 - 1) × π
    -0.693313598632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.17810891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268547058105469 × 2 - 1) × π
    0.462905883789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.45426172377364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17810891} λ = -2.17810891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45426172377364))-π/2
    2×atan(4.28132150066264)-π/2
    2×1.34133735884996-π/2
    2.68267471769992-1.57079632675     		φ = 1.11187839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17810891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.796448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11187839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.705939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20099 KachelY 35199 -2.17810891 1.11187839 -124.796448 63.705939
    Oben rechts KachelX + 1 20100 KachelY 35199 -2.17806097 1.11187839 -124.793701 63.705939
    Unten links KachelX 20099 KachelY + 1 35200 -2.17810891 1.11185716 -124.796448 63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 20100 KachelY + 1 35200 -2.17806097 1.11185716 -124.793701 63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11187839-1.11185716) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11187839-1.11185716) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17810891--2.17806097) × cos(1.11187839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442978261816627 × 6371000     		do = 135.296963419168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17810891--2.17806097) × cos(1.11185716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 135.302776673414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11187839)-sin(1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442978261816627-0.442997295098646)×R²
    abs(-2.17806097--2.17810891)×1.9033282019798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9033282019798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9033282019798e-05×40589641000000     		ar = 18300.1638726125m²