Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20098 / 35200
↖ ↑ ↗
← N 63.704723°
W124.799194°		 ← 135.27 m → N 63.704723°
W124.796448°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
N 63.703506°
W124.799194°		 ← 135.28 m →
18 306 m²		 N 63.703506°
W124.796448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153339385986328 y=0.268558502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153339385986328 × 217)
    floor (0.153339385986328 × 131072)
    floor (20098.5)     		tx = 20098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268558502197266 × 217)
    floor (0.268558502197266 × 131072)
    floor (35200.5)     		ty = 35200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20098 / 35200 ti = "17/20098/35200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20098/35200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20098 ÷ 217
    20098 ÷ 131072     		x = 0.153335571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35200 ÷ 217
    35200 ÷ 131072     		y = 0.2685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153335571289062 × 2 - 1) × π
    -0.693328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.17815684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17815684} λ = -2.17815684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45421378687402))-π/2
    2×atan(4.28111627230266)-π/2
    2×1.34132674111959-π/2
    2.68265348223917-1.57079632675     		φ = 1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17815684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.799194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20098 KachelY 35200 -2.17815684 1.11185716 -124.799194 63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 20099 KachelY 35200 -2.17810891 1.11185716 -124.796448 63.704723
    Unten links KachelX 20098 KachelY + 1 35201 -2.17815684 1.11183592 -124.799194 63.703506
    Unten rechts KachelX + 1 20099 KachelY + 1 35201 -2.17810891 1.11183592 -124.796448 63.703506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11185716-1.11183592) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dl = 135.320039999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11185716-1.11183592) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dr = 135.320039999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17815684--2.17810891) × cos(1.11185716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 135.274553315915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17815684--2.17810891) × cos(1.11183592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443016337146137 × 6371000     		du = 135.280368034192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11185716)-sin(1.11183592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.443016337146137)×R²
    abs(-2.17810891--2.17815684)×1.90420474905362e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90420474905362e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90420474905362e-05×40589641000000     		ar = 18305.7513901123m²