Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20098 / 16002
↖ ↑ ↗
← N 67.335628°
W 69.598389°		 ← 235.38 m → N 67.335628°
W 69.592895°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
N 67.333511°
W 69.598389°		 ← 235.40 m →
55 413 m²		 N 67.333511°
W 69.592895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306678771972656 y=0.244178771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306678771972656 × 216)
    floor (0.306678771972656 × 65536)
    floor (20098.5)     		tx = 20098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244178771972656 × 216)
    floor (0.244178771972656 × 65536)
    floor (16002.5)     		ty = 16002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20098 / 16002 ti = "16/20098/16002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20098/16002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20098 ÷ 216
    20098 ÷ 65536     		x = 0.306671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16002 ÷ 216
    16002 ÷ 65536     		y = 0.244171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.38665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.21472104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244171142578125 × 2 - 1) × π
    0.51165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60742011805972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21472104} λ = -1.21472104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60742011805972))-π/2
    2×atan(4.98992120002071)-π/2
    2×1.37301236800468-π/2
    2.74602473600937-1.57079632675     		φ = 1.17522841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21472104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17522841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.335628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20098 KachelY 16002 -1.21472104 1.17522841 -69.598389 67.335628
    Oben rechts KachelX + 1 20099 KachelY 16002 -1.21462516 1.17522841 -69.592895 67.335628
    Unten links KachelX 20098 KachelY + 1 16003 -1.21472104 1.17519146 -69.598389 67.333511
    Unten rechts KachelX + 1 20099 KachelY + 1 16003 -1.21462516 1.17519146 -69.592895 67.333511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17522841-1.17519146) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dl = 235.408449999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17522841-1.17519146) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dr = 235.408449999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21472104--1.21462516) × cos(1.17522841) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385332311974609 × 6371000     		do = 235.380813061357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21472104--1.21462516) × cos(1.17519146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38536640835409 × 6371000     		du = 235.401640885226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17522841)-sin(1.17519146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385332311974609-0.38536640835409)×R²
    abs(-1.21462516--1.21472104)×3.40963794810412e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40963794810412e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40963794810412e-05×40589641000000     		ar = 55413.083891454m²