Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20095 / 16011
↖ ↑ ↗
← N 67.316570°
W 69.614868°		 ← 235.57 m → N 67.316570°
W 69.609375°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
N 67.314451°
W 69.614868°		 ← 235.59 m →
55 502 m²		 N 67.314451°
W 69.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306632995605469 y=0.244316101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306632995605469 × 216)
    floor (0.306632995605469 × 65536)
    floor (20095.5)     		tx = 20095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244316101074219 × 216)
    floor (0.244316101074219 × 65536)
    floor (16011.5)     		ty = 16011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20095 / 16011 ti = "16/20095/16011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20095/16011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20095 ÷ 216
    20095 ÷ 65536     		x = 0.306625366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16011 ÷ 216
    16011 ÷ 65536     		y = 0.244308471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306625366210938 × 2 - 1) × π
    -0.386749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.21500866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244308471679688 × 2 - 1) × π
    0.511383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60655725386656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21500866} λ = -1.21500866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60655725386656))-π/2
    2×atan(4.98561743274088)-π/2
    2×1.37284605707795-π/2
    2.74569211415589-1.57079632675     		φ = 1.17489579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21500866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.614868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17489579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.316570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20095 KachelY 16011 -1.21500866 1.17489579 -69.614868 67.316570
    Oben rechts KachelX + 1 20096 KachelY 16011 -1.21491278 1.17489579 -69.609375 67.316570
    Unten links KachelX 20095 KachelY + 1 16012 -1.21500866 1.17485881 -69.614868 67.314451
    Unten rechts KachelX + 1 20096 KachelY + 1 16012 -1.21491278 1.17485881 -69.609375 67.314451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17489579-1.17485881) × R
    3.69800000001863e-05 × 6371000     		dl = 235.599580001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17489579-1.17485881) × R
    3.69800000001863e-05 × 6371000     		dr = 235.599580001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21500866--1.21491278) × cos(1.17489579) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.385639225030404 × 6371000     		do = 235.568291356266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21500866--1.21491278) × cos(1.17485881) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.385673344350999 × 6371000     		du = 235.589133193748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17489579)-sin(1.17485881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385639225030404-0.385673344350999)×R²
    abs(-1.21491278--1.21500866)×3.411932059455e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.411932059455e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.411932059455e-05×40589641000000     		ar = 55502.2456754427m²