Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20093 / 4741
↖ ↑ ↗
← N 77.755938°
E 40.748291°		 ← 259.08 m → N 77.755938°
E 40.759277°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 77.753608°
E 40.748291°		 ← 259.13 m →
67 136 m²		 N 77.753608°
E 40.759277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613204956054688 y=0.144699096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613204956054688 × 215)
    floor (0.613204956054688 × 32768)
    floor (20093.5)     		tx = 20093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144699096679688 × 215)
    floor (0.144699096679688 × 32768)
    floor (4741.5)     		ty = 4741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20093 / 4741 ti = "15/20093/4741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20093/4741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20093 ÷ 215
    20093 ÷ 32768     		x = 0.613189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4741 ÷ 215
    4741 ÷ 32768     		y = 0.144683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613189697265625 × 2 - 1) × π
    0.22637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71119184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144683837890625 × 2 - 1) × π
    0.71063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23251728910526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71119184} λ = 0.71119184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23251728910526))-π/2
    2×atan(9.32330602122305)-π/2
    2×1.46394673010268-π/2
    2.92789346020536-1.57079632675     		φ = 1.35709713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71119184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.748291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35709713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.755938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20093 KachelY 4741 0.71119184 1.35709713 40.748291 77.755938
    Oben rechts KachelX + 1 20094 KachelY 4741 0.71138359 1.35709713 40.759277 77.755938
    Unten links KachelX 20093 KachelY + 1 4742 0.71119184 1.35705646 40.748291 77.753608
    Unten rechts KachelX + 1 20094 KachelY + 1 4742 0.71138359 1.35705646 40.759277 77.753608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35709713-1.35705646) × R
    4.06700000001869e-05 × 6371000     		dl = 259.108570001191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35709713-1.35705646) × R
    4.06700000001869e-05 × 6371000     		dr = 259.108570001191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71119184-0.71138359) × cos(1.35709713) × R
    0.000191749999999935 × 0.212076394132897 × 6371000     		do = 259.080847071129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71119184-0.71138359) × cos(1.35705646) × R
    0.000191749999999935 × 0.212116138840688 × 6371000     		du = 259.129400766146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35709713)-sin(1.35705646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212076394132897-0.212116138840688)×R²
    abs(0.71138359-0.71119184)×3.97447077908342e-05×R²
    0.000191749999999935×3.97447077908342e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.97447077908342e-05×40589641000000     		ar = 67136.3581471073m²