Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20093 / 10631
↖ ↑ ↗
← N 76.342821°
W 69.625855°		 ← 144.23 m → N 76.342821°
W 69.620361°		 →
↑
144.24 m
↓
↑
144.24 m
↓
N 76.341523°
W 69.625855°		 ← 144.24 m →
20 805 m²		 N 76.341523°
W 69.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306602478027344 y=0.162223815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306602478027344 × 216)
    floor (0.306602478027344 × 65536)
    floor (20093.5)     		tx = 20093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162223815917969 × 216)
    floor (0.162223815917969 × 65536)
    floor (10631.5)     		ty = 10631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20093 / 10631 ti = "16/20093/10631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20093/10631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20093 ÷ 216
    20093 ÷ 65536     		x = 0.306594848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10631 ÷ 216
    10631 ÷ 65536     		y = 0.162216186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306594848632812 × 2 - 1) × π
    -0.386810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.21520041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162216186523438 × 2 - 1) × π
    0.675567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12235829377837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21520041} λ = -1.21520041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12235829377837))-π/2
    2×atan(8.35080794263086)-π/2
    2×1.45161495131566-π/2
    2.90322990263133-1.57079632675     		φ = 1.33243358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21520041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.625855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33243358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.342821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20093 KachelY 10631 -1.21520041 1.33243358 -69.625855 76.342821
    Oben rechts KachelX + 1 20094 KachelY 10631 -1.21510453 1.33243358 -69.620361 76.342821
    Unten links KachelX 20093 KachelY + 1 10632 -1.21520041 1.33241094 -69.625855 76.341523
    Unten rechts KachelX + 1 20094 KachelY + 1 10632 -1.21510453 1.33241094 -69.620361 76.341523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33243358-1.33241094) × R
    2.26400000000737e-05 × 6371000     		dl = 144.23944000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33243358-1.33241094) × R
    2.26400000000737e-05 × 6371000     		dr = 144.23944000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21520041--1.21510453) × cos(1.33243358) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236111982332545 × 6371000     		do = 144.229353853475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21520041--1.21510453) × cos(1.33241094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236133982145325 × 6371000     		du = 144.242792471671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33243358)-sin(1.33241094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236111982332545-0.236133982145325)×R²
    abs(-1.21510453--1.21520041)×2.19998127796717e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.19998127796717e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.19998127796717e-05×40589641000000     		ar = 20804.5304216022m²