Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20090 / 10626
↖ ↑ ↗
← N 76.349304°
W 69.642334°		 ← 144.16 m → N 76.349304°
W 69.636841°		 →
↑
144.11 m
↓
↑
144.11 m
↓
N 76.348008°
W 69.642334°		 ← 144.18 m →
20 776 m²		 N 76.348008°
W 69.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306556701660156 y=0.162147521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306556701660156 × 216)
    floor (0.306556701660156 × 65536)
    floor (20090.5)     		tx = 20090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162147521972656 × 216)
    floor (0.162147521972656 × 65536)
    floor (10626.5)     		ty = 10626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20090 / 10626 ti = "16/20090/10626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20090/10626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20090 ÷ 216
    20090 ÷ 65536     		x = 0.306549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10626 ÷ 216
    10626 ÷ 65536     		y = 0.162139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.306549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.38690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21548803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162139892578125 × 2 - 1) × π
    0.67572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12283766277457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21548803} λ = -1.21548803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12283766277457))-π/2
    2×atan(8.35481202069055)-π/2
    2×1.45167153051974-π/2
    2.90334306103949-1.57079632675     		φ = 1.33254673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21548803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33254673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.349304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20090 KachelY 10626 -1.21548803 1.33254673 -69.642334 76.349304
    Oben rechts KachelX + 1 20091 KachelY 10626 -1.21539215 1.33254673 -69.636841 76.349304
    Unten links KachelX 20090 KachelY + 1 10627 -1.21548803 1.33252411 -69.642334 76.348008
    Unten rechts KachelX + 1 20091 KachelY + 1 10627 -1.21539215 1.33252411 -69.636841 76.348008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33254673-1.33252411) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dl = 144.112019999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33254673-1.33252411) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dr = 144.112019999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21548803--1.21539215) × cos(1.33254673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236002030041144 × 6371000     		do = 144.162189333543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21548803--1.21539215) × cos(1.33252411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236024011023718 × 6371000     		du = 144.17561644928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33254673)-sin(1.33252411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236002030041144-0.236024011023718)×R²
    abs(-1.21539215--1.21548803)×2.198098257436e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.198098257436e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.198098257436e-05×40589641000000     		ar = 20776.4718177648m²