Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2008 / 873
↖ ↑ ↗
← N 71.272594°
W  3.515625°		 ← 3 137.77 m → N 71.272594°
W  3.427734°		 →
↑
3 140.01 m
↓
↑
3 140.01 m
↓
N 71.244356°
W  3.515625°		 ← 3 142.34 m →
9 859 806 m²		 N 71.244356°
W  3.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4903564453125 y=0.2132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4903564453125 × 212)
    floor (0.4903564453125 × 4096)
    floor (2008.5)     		tx = 2008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2132568359375 × 212)
    floor (0.2132568359375 × 4096)
    floor (873.5)     		ty = 873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2008 / 873 ti = "12/2008/873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2008/873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2008 ÷ 212
    2008 ÷ 4096     		x = 0.490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 873 ÷ 212
    873 ÷ 4096     		y = 0.213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490234375 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213134765625 × 2 - 1) × π
    0.57373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06135923} λ = -0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80242742571411))-π/2
    2×atan(6.06435037211788)-π/2
    2×1.40736888547405-π/2
    2.81473777094809-1.57079632675     		φ = 1.24394144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24394144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.272594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2008 KachelY 873 -0.06135923 1.24394144 -3.515625 71.272594
    Oben rechts KachelX + 1 2009 KachelY 873 -0.05982525 1.24394144 -3.427734 71.272594
    Unten links KachelX 2008 KachelY + 1 874 -0.06135923 1.24344858 -3.515625 71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 2009 KachelY + 1 874 -0.05982525 1.24344858 -3.427734 71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24394144-1.24344858) × R
    0.000492860000000039 × 6371000     		dl = 3140.01106000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24394144-1.24344858) × R
    0.000492860000000039 × 6371000     		dr = 3140.01106000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06135923--0.05982525) × cos(1.24394144) × R
    0.00153398 × 0.32106602036008 × 6371000     		do = 3137.77390827306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06135923--0.05982525) × cos(1.24344858) × R
    0.00153398 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 3142.33522896448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24394144)-sin(1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32106602036008-0.321532747767724)×R²
    abs(-0.05982525--0.06135923)×0.000466727407644141×R²
    0.00153398×0.000466727407644141×6371000²
    0.00153398×0.000466727407644141×40589641000000     		ar = 9859806.27405182m²