Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20078 / 20599
↖ ↑ ↗
← S 41.959490°
E 40.583496°		 ← 908.43 m → S 41.959490°
E 40.594483°		 →
↑
908.38 m
↓
↑
908.38 m
↓
S 41.967659°
E 40.583496°		 ← 908.32 m →
825 147 m²		 S 41.967659°
E 40.594483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612747192382812 y=0.628646850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612747192382812 × 215)
    floor (0.612747192382812 × 32768)
    floor (20078.5)     		tx = 20078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628646850585938 × 215)
    floor (0.628646850585938 × 32768)
    floor (20599.5)     		ty = 20599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20078 / 20599 ti = "15/20078/20599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20078/20599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20078 ÷ 215
    20078 ÷ 32768     		x = 0.61273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20599 ÷ 215
    20599 ÷ 32768     		y = 0.628631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61273193359375 × 2 - 1) × π
    0.2254638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70831563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.25726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.808216127594147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70831563} λ = 0.70831563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808216127594147))-π/2
    2×atan(0.445652344486707)-π/2
    2×0.419232536063939-π/2
    0.838465072127878-1.57079632675     		φ = -0.73233125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70831563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.583496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73233125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.959490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20078 KachelY 20599 0.70831563 -0.73233125 40.583496 -41.959490
    Oben rechts KachelX + 1 20079 KachelY 20599 0.70850738 -0.73233125 40.594483 -41.959490
    Unten links KachelX 20078 KachelY + 1 20600 0.70831563 -0.73247383 40.583496 -41.967659
    Unten rechts KachelX + 1 20079 KachelY + 1 20600 0.70850738 -0.73247383 40.594483 -41.967659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73233125--0.73247383) × R
    0.000142580000000003 × 6371000     		dl = 908.377180000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73233125--0.73247383) × R
    0.000142580000000003 × 6371000     		dr = 908.377180000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70831563-0.70850738) × cos(-0.73233125) × R
    0.000191750000000046 × 0.743617739007799 × 6371000     		do = 908.432616968402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70831563-0.70850738) × cos(-0.73247383) × R
    0.000191750000000046 × 0.743522401747397 × 6371000     		du = 908.316149229107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73233125)-sin(-0.73247383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743617739007799-0.743522401747397)×R²
    abs(0.70850738-0.70831563)×9.53372604021174e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53372604021174e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53372604021174e-05×40589641000000     		ar = 825146.561901179m²