Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20076 / 20596
↖ ↑ ↗
← S 41.934976°
E 40.561523°		 ← 908.78 m → S 41.934976°
E 40.572510°		 →
↑
908.70 m
↓
↑
908.70 m
↓
S 41.943149°
E 40.561523°		 ← 908.67 m →
825 753 m²		 S 41.943149°
E 40.572510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612686157226562 y=0.628555297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612686157226562 × 215)
    floor (0.612686157226562 × 32768)
    floor (20076.5)     		tx = 20076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628555297851562 × 215)
    floor (0.628555297851562 × 32768)
    floor (20596.5)     		ty = 20596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20076 / 20596 ti = "15/20076/20596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20076/20596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20076 ÷ 215
    20076 ÷ 32768     		x = 0.6126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20596 ÷ 215
    20596 ÷ 32768     		y = 0.6285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6126708984375 × 2 - 1) × π
    0.225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70793213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.807640884798706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70793213} λ = 0.70793213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807640884798706))-π/2
    2×atan(0.445908776535417)-π/2
    2×0.419446457565541-π/2
    0.838892915131081-1.57079632675     		φ = -0.73190341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70793213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.561523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73190341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.934976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20076 KachelY 20596 0.70793213 -0.73190341 40.561523 -41.934976
    Oben rechts KachelX + 1 20077 KachelY 20596 0.70812388 -0.73190341 40.572510 -41.934976
    Unten links KachelX 20076 KachelY + 1 20597 0.70793213 -0.73204604 40.561523 -41.943149
    Unten rechts KachelX + 1 20077 KachelY + 1 20597 0.70812388 -0.73204604 40.572510 -41.943149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73190341--0.73204604) × R
    0.000142629999999921 × 6371000     		dl = 908.695729999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73190341--0.73204604) × R
    0.000142629999999921 × 6371000     		dr = 908.695729999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70793213-0.70812388) × cos(-0.73190341) × R
    0.000191750000000046 × 0.743903726907657 × 6371000     		do = 908.781991011893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70793213-0.70812388) × cos(-0.73204604) × R
    0.000191750000000046 × 0.743808401595171 × 6371000     		du = 908.665537868641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73190341)-sin(-0.73204604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743903726907657-0.743808401595171)×R²
    abs(0.70812388-0.70793213)×9.53253124860165e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53253124860165e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53253124860165e-05×40589641000000     		ar = 825753.405895651m²