Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20071 / 20619
↖ ↑ ↗
← S 42.122673°
E 40.506592°		 ← 906.06 m → S 42.122673°
E 40.517578°		 →
↑
906.02 m
↓
↑
906.02 m
↓
S 42.130821°
E 40.506592°		 ← 905.94 m →
820 851 m²		 S 42.130821°
E 40.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612533569335938 y=0.629257202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612533569335938 × 215)
    floor (0.612533569335938 × 32768)
    floor (20071.5)     		tx = 20071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629257202148438 × 215)
    floor (0.629257202148438 × 32768)
    floor (20619.5)     		ty = 20619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20071 / 20619 ti = "15/20071/20619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20071/20619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20071 ÷ 215
    20071 ÷ 32768     		x = 0.612518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20619 ÷ 215
    20619 ÷ 32768     		y = 0.629241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612518310546875 × 2 - 1) × π
    0.22503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70697340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.25848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812051079563751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70697340} λ = 0.70697340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812051079563751))-π/2
    2×atan(0.443946562037897)-π/2
    2×0.417808495291368-π/2
    0.835616990582735-1.57079632675     		φ = -0.73517934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70697340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.506592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73517934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.122673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20071 KachelY 20619 0.70697340 -0.73517934 40.506592 -42.122673
    Oben rechts KachelX + 1 20072 KachelY 20619 0.70716514 -0.73517934 40.517578 -42.122673
    Unten links KachelX 20071 KachelY + 1 20620 0.70697340 -0.73532155 40.506592 -42.130821
    Unten rechts KachelX + 1 20072 KachelY + 1 20620 0.70716514 -0.73532155 40.517578 -42.130821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73517934--0.73532155) × R
    0.000142210000000031 × 6371000     		dl = 906.019910000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73517934--0.73532155) × R
    0.000142210000000031 × 6371000     		dr = 906.019910000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70697340-0.70716514) × cos(-0.73517934) × R
    0.000191739999999996 × 0.741710478372791 × 6371000     		do = 906.05537814188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70697340-0.70716514) × cos(-0.73532155) × R
    0.000191739999999996 × 0.741615087755575 × 6371000     		du = 905.938851297144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73517934)-sin(-0.73532155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741710478372791-0.741615087755575)×R²
    abs(0.70716514-0.70697340)×9.53906172154184e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53906172154184e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53906172154184e-05×40589641000000     		ar = 820851.425722039m²