Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20070 / 28517
↖ ↑ ↗
← N 70.753439°
W124.876099°		 ← 100.68 m → N 70.753439°
W124.873352°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.752534°
W124.876099°		 ← 100.68 m →
10 135 m²		 N 70.752534°
W124.873352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153125762939453 y=0.217571258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153125762939453 × 217)
    floor (0.153125762939453 × 131072)
    floor (20070.5)     		tx = 20070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217571258544922 × 217)
    floor (0.217571258544922 × 131072)
    floor (28517.5)     		ty = 28517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20070 / 28517 ti = "17/20070/28517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20070/28517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20070 ÷ 217
    20070 ÷ 131072     		x = 0.153121948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28517 ÷ 217
    28517 ÷ 131072     		y = 0.217567443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153121948242188 × 2 - 1) × π
    -0.693756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17949908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217567443847656 × 2 - 1) × π
    0.564865112304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.77457608703486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17949908} λ = -2.17949908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77457608703486))-π/2
    2×atan(5.89778046071921)-π/2
    2×1.40283839987981-π/2
    2.80567679975962-1.57079632675     		φ = 1.23488047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17949908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.876099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23488047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.753439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20070 KachelY 28517 -2.17949908 1.23488047 -124.876099 70.753439
    Oben rechts KachelX + 1 20071 KachelY 28517 -2.17945114 1.23488047 -124.873352 70.753439
    Unten links KachelX 20070 KachelY + 1 28518 -2.17949908 1.23486467 -124.876099 70.752534
    Unten rechts KachelX + 1 20071 KachelY + 1 28518 -2.17945114 1.23486467 -124.873352 70.752534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23488047-1.23486467) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23488047-1.23486467) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17949908--2.17945114) × cos(1.23488047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329633976467493 × 6371000     		do = 100.678701191661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17949908--2.17945114) × cos(1.23486467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329648893345515 × 6371000     		du = 100.683257190169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23488047)-sin(1.23486467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329633976467493-0.329648893345515)×R²
    abs(-2.17945114--2.17949908)×1.4916878022575e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4916878022575e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4916878022575e-05×40589641000000     		ar = 10134.7285913833m²