Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20068 / 28516
↖ ↑ ↗
← N 70.754344°
W124.881592°		 ← 100.65 m → N 70.754344°
W124.878845°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.753439°
W124.881592°		 ← 100.66 m →
10 132 m²		 N 70.753439°
W124.878845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153110504150391 y=0.217563629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153110504150391 × 217)
    floor (0.153110504150391 × 131072)
    floor (20068.5)     		tx = 20068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217563629150391 × 217)
    floor (0.217563629150391 × 131072)
    floor (28516.5)     		ty = 28516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20068 / 28516 ti = "17/20068/28516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20068/28516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20068 ÷ 217
    20068 ÷ 131072     		x = 0.153106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28516 ÷ 217
    28516 ÷ 131072     		y = 0.217559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.69378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17959495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217559814453125 × 2 - 1) × π
    0.56488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17959495} λ = -2.17959495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77462402393448))-π/2
    2×atan(5.89806318880563)-π/2
    2×1.40284630051638-π/2
    2.80569260103276-1.57079632675     		φ = 1.23489627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17959495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.881592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23489627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.754344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20068 KachelY 28516 -2.17959495 1.23489627 -124.881592 70.754344
    Oben rechts KachelX + 1 20069 KachelY 28516 -2.17954702 1.23489627 -124.878845 70.754344
    Unten links KachelX 20068 KachelY + 1 28517 -2.17959495 1.23488047 -124.881592 70.753439
    Unten rechts KachelX + 1 20069 KachelY + 1 28517 -2.17954702 1.23488047 -124.878845 70.753439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23489627-1.23488047) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23489627-1.23488047) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17959495--2.17954702) × cos(1.23489627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32961905950718 × 6371000     		do = 100.653145137865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17959495--2.17954702) × cos(1.23488047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329633976467493 × 6371000     		du = 100.657700211147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23489627)-sin(1.23488047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32961905950718-0.329633976467493)×R²
    abs(-2.17954702--2.17959495)×1.49169603123611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49169603123611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49169603123611e-05×40589641000000     		ar = 10132.1560263704m²