Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20060 / 20556
↖ ↑ ↗
← S 41.607228°
E 40.385742°		 ← 913.44 m → S 41.607228°
E 40.396729°		 →
↑
913.41 m
↓
↑
913.41 m
↓
S 41.615442°
E 40.385742°		 ← 913.32 m →
834 290 m²		 S 41.615442°
E 40.396729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612197875976562 y=0.627334594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612197875976562 × 215)
    floor (0.612197875976562 × 32768)
    floor (20060.5)     		tx = 20060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627334594726562 × 215)
    floor (0.627334594726562 × 32768)
    floor (20556.5)     		ty = 20556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20060 / 20556 ti = "15/20060/20556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20060/20556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20060 ÷ 215
    20060 ÷ 32768     		x = 0.6121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20556 ÷ 215
    20556 ÷ 32768     		y = 0.6273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6121826171875 × 2 - 1) × π
    0.224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70486417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799970980859497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70486417} λ = 0.70486417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799970980859497))-π/2
    2×atan(0.449342003446757)-π/2
    2×0.422306600935701-π/2
    0.844613201871403-1.57079632675     		φ = -0.72618312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70486417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72618312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.607228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20060 KachelY 20556 0.70486417 -0.72618312 40.385742 -41.607228
    Oben rechts KachelX + 1 20061 KachelY 20556 0.70505592 -0.72618312 40.396729 -41.607228
    Unten links KachelX 20060 KachelY + 1 20557 0.70486417 -0.72632649 40.385742 -41.615442
    Unten rechts KachelX + 1 20061 KachelY + 1 20557 0.70505592 -0.72632649 40.396729 -41.615442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72618312--0.72632649) × R
    0.000143370000000087 × 6371000     		dl = 913.410270000555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72618312--0.72632649) × R
    0.000143370000000087 × 6371000     		dr = 913.410270000555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70486417-0.70505592) × cos(-0.72618312) × R
    0.000191749999999935 × 0.747714329479723 × 6371000     		do = 913.437172679552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70486417-0.70505592) × cos(-0.72632649) × R
    0.000191749999999935 × 0.747619121170185 × 6371000     		du = 913.320862471694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72618312)-sin(-0.72632649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747714329479723-0.747619121170185)×R²
    abs(0.70505592-0.70486417)×9.52083095379086e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52083095379086e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52083095379086e-05×40589641000000     		ar = 834289.776485671m²