Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20057 / 20589
↖ ↑ ↗
← S 41.877741°
E 40.352783°		 ← 909.60 m → S 41.877741°
E 40.363770°		 →
↑
909.52 m
↓
↑
909.52 m
↓
S 41.885921°
E 40.352783°		 ← 909.48 m →
827 247 m²		 S 41.885921°
E 40.363770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612106323242188 y=0.628341674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612106323242188 × 215)
    floor (0.612106323242188 × 32768)
    floor (20057.5)     		tx = 20057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628341674804688 × 215)
    floor (0.628341674804688 × 32768)
    floor (20589.5)     		ty = 20589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20057 / 20589 ti = "15/20057/20589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20057/20589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20057 ÷ 215
    20057 ÷ 32768     		x = 0.612091064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20589 ÷ 215
    20589 ÷ 32768     		y = 0.628326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612091064453125 × 2 - 1) × π
    0.22418212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70428893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.25665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.806298651609344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70428893} λ = 0.70428893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806298651609344))-π/2
    2×atan(0.446507691946865)-π/2
    2×0.419945927595755-π/2
    0.83989185519151-1.57079632675     		φ = -0.73090447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70428893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.352783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73090447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.877741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20057 KachelY 20589 0.70428893 -0.73090447 40.352783 -41.877741
    Oben rechts KachelX + 1 20058 KachelY 20589 0.70448068 -0.73090447 40.363770 -41.877741
    Unten links KachelX 20057 KachelY + 1 20590 0.70428893 -0.73104723 40.352783 -41.885921
    Unten rechts KachelX + 1 20058 KachelY + 1 20590 0.70448068 -0.73104723 40.363770 -41.885921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73090447--0.73104723) × R
    0.00014276000000002 × 6371000     		dl = 909.523960000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73090447--0.73104723) × R
    0.00014276000000002 × 6371000     		dr = 909.523960000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70428893-0.70448068) × cos(-0.73090447) × R
    0.000191749999999935 × 0.744570934047443 × 6371000     		do = 909.59707744121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70428893-0.70448068) × cos(-0.73104723) × R
    0.000191749999999935 × 0.744475627971783 × 6371000     		du = 909.48064779842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73090447)-sin(-0.73104723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744570934047443-0.744475627971783)×R²
    abs(0.70448068-0.70428893)×9.53060756601065e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53060756601065e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53060756601065e-05×40589641000000     		ar = 827247.389508806m²