Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20051 / 20557
↖ ↑ ↗
← S 41.615442°
E 40.286865°		 ← 913.32 m → S 41.615442°
E 40.297851°		 →
↑
913.22 m
↓
↑
913.22 m
↓
S 41.623655°
E 40.286865°		 ← 913.20 m →
834 009 m²		 S 41.623655°
E 40.297851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611923217773438 y=0.627365112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611923217773438 × 215)
    floor (0.611923217773438 × 32768)
    floor (20051.5)     		tx = 20051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627365112304688 × 215)
    floor (0.627365112304688 × 32768)
    floor (20557.5)     		ty = 20557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20051 / 20557 ti = "15/20051/20557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20051/20557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20051 ÷ 215
    20051 ÷ 32768     		x = 0.611907958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20557 ÷ 215
    20557 ÷ 32768     		y = 0.627349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611907958984375 × 2 - 1) × π
    0.22381591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70313844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.25469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800162728457977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70313844} λ = 0.70313844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800162728457977))-π/2
    2×atan(0.449255851456683)-π/2
    2×0.422234919286253-π/2
    0.844469838572507-1.57079632675     		φ = -0.72632649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70313844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.286865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72632649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.615442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20051 KachelY 20557 0.70313844 -0.72632649 40.286865 -41.615442
    Oben rechts KachelX + 1 20052 KachelY 20557 0.70333019 -0.72632649 40.297851 -41.615442
    Unten links KachelX 20051 KachelY + 1 20558 0.70313844 -0.72646983 40.286865 -41.623655
    Unten rechts KachelX + 1 20052 KachelY + 1 20558 0.70333019 -0.72646983 40.297851 -41.623655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72632649--0.72646983) × R
    0.000143339999999936 × 6371000     		dl = 913.219139999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72632649--0.72646983) × R
    0.000143339999999936 × 6371000     		dr = 913.219139999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70313844-0.70333019) × cos(-0.72632649) × R
    0.000191749999999935 × 0.747619121170185 × 6371000     		do = 913.320862471694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70313844-0.70333019) × cos(-0.72646983) × R
    0.000191749999999935 × 0.747523917420415 × 6371000     		du = 913.204557834229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72632649)-sin(-0.72646983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747619121170185-0.747523917420415)×R²
    abs(0.70333019-0.70313844)×9.52037497694569e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52037497694569e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52037497694569e-05×40589641000000     		ar = 834008.988187617m²