Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20048 / 20656
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
E 40.253906°		 ← 901.79 m → S 42.423457°
E 40.264893°		 →
↑
901.69 m
↓
↑
901.69 m
↓
S 42.431566°
E 40.253906°		 ← 901.67 m →
813 079 m²		 S 42.431566°
E 40.264893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611831665039062 y=0.630386352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611831665039062 × 215)
    floor (0.611831665039062 × 32768)
    floor (20048.5)     		tx = 20048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630386352539062 × 215)
    floor (0.630386352539062 × 32768)
    floor (20656.5)     		ty = 20656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20048 / 20656 ti = "15/20048/20656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20048/20656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20048 ÷ 215
    20048 ÷ 32768     		x = 0.61181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20656 ÷ 215
    20656 ÷ 32768     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61181640625 × 2 - 1) × π
    0.2236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70256320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70256320} λ = 0.70256320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70256320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20048 KachelY 20656 0.70256320 -0.74042900 40.253906 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 20049 KachelY 20656 0.70275495 -0.74042900 40.264893 -42.423457
    Unten links KachelX 20048 KachelY + 1 20657 0.70256320 -0.74057053 40.253906 -42.431566
    Unten rechts KachelX + 1 20049 KachelY + 1 20657 0.70275495 -0.74057053 40.264893 -42.431566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74057053) × R
    0.000141529999999945 × 6371000     		dl = 901.687629999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74057053) × R
    0.000141529999999945 × 6371000     		dr = 901.687629999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70256320-0.70275495) × cos(-0.74042900) × R
    0.000191749999999935 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 901.788710237717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70256320-0.70275495) × cos(-0.74057053) × R
    0.000191749999999935 × 0.738083737080828 × 6371000     		du = 901.672063004314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74057053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.738083737080828)×R²
    abs(0.70275495-0.70256320)×9.54841892994995e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54841892994995e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54841892994995e-05×40589641000000     		ar = 813079.13656774m²