Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20045 / 4729
↖ ↑ ↗
← N 77.783866°
E 40.220947°		 ← 258.50 m → N 77.783866°
E 40.231934°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 77.781541°
E 40.220947°		 ← 258.55 m →
66 837 m²		 N 77.781541°
E 40.231934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611740112304688 y=0.144332885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611740112304688 × 215)
    floor (0.611740112304688 × 32768)
    floor (20045.5)     		tx = 20045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144332885742188 × 215)
    floor (0.144332885742188 × 32768)
    floor (4729.5)     		ty = 4729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20045 / 4729 ti = "15/20045/4729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20045/4729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20045 ÷ 215
    20045 ÷ 32768     		x = 0.611724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4729 ÷ 215
    4729 ÷ 32768     		y = 0.144317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611724853515625 × 2 - 1) × π
    0.22344970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70198796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144317626953125 × 2 - 1) × π
    0.71136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23481826028702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70198796} λ = 0.70198796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23481826028702))-π/2
    2×atan(9.34478337961206)-π/2
    2×1.46419044680761-π/2
    2.92838089361521-1.57079632675     		φ = 1.35758457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70198796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.220947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35758457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.783866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20045 KachelY 4729 0.70198796 1.35758457 40.220947 77.783866
    Oben rechts KachelX + 1 20046 KachelY 4729 0.70217971 1.35758457 40.231934 77.783866
    Unten links KachelX 20045 KachelY + 1 4730 0.70198796 1.35754399 40.220947 77.781541
    Unten rechts KachelX + 1 20046 KachelY + 1 4730 0.70217971 1.35754399 40.231934 77.781541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35758457-1.35754399) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35758457-1.35754399) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70198796-0.70217971) × cos(1.35758457) × R
    0.000191750000000046 × 0.21160001671085 × 6371000     		do = 258.498885714692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70198796-0.70217971) × cos(1.35754399) × R
    0.000191750000000046 × 0.211639677657257 × 6371000     		du = 258.547337083515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35758457)-sin(1.35754399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21160001671085-0.211639677657257)×R²
    abs(0.70217971-0.70198796)×3.96609464068109e-05×R²
    0.000191750000000046×3.96609464068109e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.96609464068109e-05×40589641000000     		ar = 66837.3191491509m²